Скінченне розширення

Скінченне розширення — розширення поля $L/K$, таке, що L є скінченновимірним над K як векторний простір.

Розмірність векторного простору L над K називається степенем розширення і позначається [L:K].

Властивості

• Скінченне розширення завжди є алгебраїчним розширенням.

Справді, нехай [L:K]=n, тоді для будь-якого елементу α ∈ L, n+1 елементів: 1,α,α²...αⁿ не можуть бути лінійно незалежними, тому існує многочлен над K степеня не більше n, такий, що α є його коренем.

• Просте розширення поля L=K(α) є скінченним тоді і тільки тоді коли α є алгебричним елементом над полем K. Якщо мінімальний многочлен елемента α над полем K має степінь n, то [E:K]=n. Згідно теореми про первісний елемент навпаки кожне скінченне сепарабельне розширення поля $L/K$ є простим, тобто існує елемент α ∈ L, такий що L=K(α).

• У послідовності полів K ⊆ L ⊆ F, поле F є скінченним розширенням над K тоді і тільки тоді, коли F є скінченним розширенням над L та L є скінченним розширенням над K.

Це випливає з властивостей векторних просторів. В цьому випадку якщо e₁...e_n — базис L над K, та f₁...f_m — базис F над L, то f₁e₁ f₁e₂,... f₁e_n, f₂e₁,...f_me₁,...f_me_n — базис F над K, звідси [F:L][L:K]=[F:K].

• Скінченне розширення L є скінченно породженим.

За породжуючі елементи, можна взяти елементи будь-якого базису L=K(e₁,...e_n) . Навпаки, будь-яке скінченно породжене алгебраїчне розширення є скінченним. Справді, K(α₁,α₂...α_n)=K(α₁)(α₂)...(α_n) . Елементи α_i будучи алгебраїчними над K залишаються такими і над більшим полем K(α₁)...(α_i-1). Далі застосовуємо теореми про скінченність простих алгебраїчних розширень і точну послідовність скінченних розширень.

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
• P.J. McCarthy, Algebraic extensions of fields, Dover Publications, 1991, ISBN 0-486-66651-4.