Скінченне розширення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Скінченне розширеннярозширення поля , таке, що L є скінченновимірним над K як векторний простір.

Розмірність векторного простору L над K називається степенем розширення і позначається [L:K].

Властивості[ред.ред. код]

Справді, нехай [L:K]=n, тоді для будь-якого елементу α ∈ L, n+1 елементів: 1,α,α2...αn не можуть бути лінійно незалежними, тому існує многочлен над K степеня не більше n, такий, що α є його коренем.
  • У послідовності полів K ⊆ L ⊆ F, поле F є скінченним розширенням над K тоді і тільки тоді, коли F є скінченним розширенням над L та L є скінченним розширенням над K.
Це випливає з властивостей векторних просторів. В цьому випадку якщо e1...en — базис L над K, та f1...fm — базис F над L, то f1e1 f1e2,... f1en, f2e1,...fme1,...fmen — базис F над K, звідси [F:L][L:K]=[F:K].
За породжуючі елементи, можна взяти елементи будь-якого базису L=K(e1,...en) . Навпаки, будь-яке скінченно породжене алгебраїчне розширення є скінченним. Справді, K(α12...αn)=K(α1)(α2)...(αn) . Елементи αi будучи алгебраїчними над K залишаються такими і над більшим полем K(α1)...(αi-1). Далі застосовуємо теореми про скінченність простих алгебраїчних розширень і точну послідовність скінченних розширень.

Література[ред.ред. код]