Впорядкована група

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Впорядкована група (також частково впорядкована група) в абстрактній алгебрі група G, на якій задано відношення часткового порядку  \geqslant таке, що для будь-яких елементів а, b, х, у з G з нерівності a \geqslant b випливає  xay \geqslant xby. В залежності від додаткових властивостей відношення часткового порядку розрізняють такі важливі класи впорядкованих груп:

  • Лінійно впорядковані групи, для яких відношення  \geqslant є відношенням лінійного порядку.
  • Ґратково впорядковані групи, для який відношення порядку є ґраткою.
  • Спрямовані групи, які задовольняють властивість: \forall x, y \in G, існує такий елемент z \in G, що виконуються нерівності z \geqslant x,z \geqslant y.

Додатний конус[ред.ред. код]

Множина P(G) = \{x \in G | x \geqslant 0 \}, називається додатним конусом має властивості:

  1. P(G)\cdot P(G) \subseteq P(G)
  2. P(G) \cap P(G)^{-1} = \{1\}
  3.  x^{-1}P(G)x \subseteq P(G)

Навпаки, якщо у групі G є множина P, що задовольняє умовам, то G можна перетворити на впорядковану групу взявши, що y \geqslant x тоді і тільки тоді, коли  xy^{-1} \in P. Також при цьому P = P(G).

Для лінійно впорядкованих груп для додатного конуса додатково справедливим є твердження:

  • P(G) \cup P(G)^{-1} = G.

Для направлених груп крім перших трьох властивостей також виконується:

  • P(G) \cdot P(G)^{-1} = G.

Приклади[ред.ред. код]

  • адитивна група (\mathbb{R},+) дійсних чисел із звичайним порядком є лінійно впорядкованою групою;
  • група F(X, \mathbb{R}) функцій визначених на множині X, із значеннями в множині дійсних чисел. На цій множині можна визначити операцію поточкового додавання функцій. Відношення часткового порядку на множині цих функцій можна ввести таким чином: f \geqslant g тоді і тільки тоді коли f(x) \geqslant g(x), \, \forall x \in X.
  • група A(M) усіх автоморфізмів лінійно упорядковано] множини M себе є впорядкованою групою, якщо за групову операцію взяти суперпозицію відображень, відношення порядку визначити: \phi \geqslant \psi, тоді і тільки тоді, коли \phi(m) \geqslant \psi(m), \, \forall m \in M.

Випуклі підгрупи і порядковий гомоморфізм[ред.ред. код]

Якщо H підгрупа групи впорядкованої групи G, то H теж буде підгрупою відносно індукованого відношення часткового порядку. Ця підгрупа називається випуклою, якщо для будь-яких елементів x,y,z \in G, для яких x \geqslant y \geqslant z і x,z \in H, також і y \in H.

Гомоморфізм \phi: G \to H, що зберігає порядок у групах називається порядковим гомоморфізмом. Гомоморфізм \phi: G \to H, є порядковим тоді і тільки тоді коли \phi(P(G))\subseteq P(H).

Ядром порядкового гомоморфізму впорядкованої групи завжди є випукла нормальна підгрупа.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Кокорин А. И., Копытов В. М., Линейно упорядоченные группы, М., 1972
  • Общая алгебра / Под общей редакцией Л.А. Скорнякова — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — Т. 1. — 592 с.
  • Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965.