Гомоморфізм

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Гомоморфізм (від грец. homos – однаковий і грец. morphe – форма) — це морфізм в категорії алгебраїчних систем.

В термінах універсальної алгебри, це відображення , алгебраїчної системи в алгебраїчну систему того ж типу, що зберігає алгебраїчну операцію:

для кожної n-арної операції і .

Базові приклади[ред.ред. код]

Дійсні числа є кільцем, що має додавання і множення. Множина всіх 2 × 2 матриць також кільце над додаванням матриць і множенням матриць. Якщо ми визначимо функцію між цими кільцями так:

де r дійсне число. Тоді ƒ — гомоморфізм кілець, бо ƒ зберігає і додавання:

і множення:

Інший приклад, ненульові комплексні числа утворюють групу над множенням, так само як ненульові дійсні числа. (Нуль треба виключити, бо він не має оберненого елемента, який повинен бути в елементів групи.) Визначимо функцію ƒ з ненульових комплексних чисел в ненульові дійсні числа так

Де, ƒ(z) — абсолютне значення (або модуль) комплексного числа z. Тоді ƒ — гомоморфізм групи, бо воно зберігає множення:

Зауважте, що ƒ не можна поширити на гомоморфізм груп (з комплексних в дійсні), бо вона не зберігає додавання:

Типи гомоморфізмів[ред.ред. код]

Кожен тип алгебраїчних структур має свій гомоморфізм:

Часткові випадки[ред.ред. код]

Вищеозначені терміни використовуються і в теорії категорій, де вони визначені загальнішим чином.

Ядро та образ гомоморфізму[ред.ред. код]

Відношення називається ядром

  • Фактормножина ізоморфна образу

Властивості[ред.ред. код]

  • Множина всіх ендоморфізмів множини X утворює моноїд, позначається End(X).
  • Множина всіх автоморфізмів множини X утворює групу, позначається Aut(X).

Практичне значення[ред.ред. код]

Поняття гомоморфізму і споріднені з ним поняття ізоморфізму і автоморфізму мають величезне практичне значення, так як вони дозволяють представляти одну модель іншою моделлю.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]