Гомоморфізм

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Гомоморфізм (від грец. homos – однаковий і грец. morphe – форма) — це морфізм в категорії алгебраїчних систем.

В термінах універсальної алгебри, це відображення \phi: A \rightarrow B \!, алгебраїчної системи A \! в алгебраїчну систему B \! того ж типу, що зберігає алгебраїчну операцію:

\phi(f_A(x_1, \ldots, x_n)) = f_B(\phi(x_1), \ldots, \phi(x_n)) \!

для кожної n-арної операції f \! і \forall x_i \in A.

Базові приклади[ред.ред. код]

Дійсні числа є кільцем, що має додавання і множення. Множина всіх2 × 2 матриць також кільце над додаванням матриць і множенням матриць. Якщо ми визначимо функцію між цим кільцями так:

f(r) = \begin{pmatrix}
   r & 0 \\
   0 & r
\end{pmatrix}

де r дійсне число. Тоді ƒ — гомоморфізм кілець, бо ƒ зберігає і додавання:

f(r+s) = \begin{pmatrix}
  r+s & 0 \\
   0 & r+s
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
  r & 0 \\
   0 & r
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
   s & 0 \\
   0 & s
\end{pmatrix} = f(r) + f(s)

і множення:

f(rs) = \begin{pmatrix}
  rs & 0 \\
   0 & rs
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   r & 0 \\
   0 & r
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
   s & 0 \\
   0 & s
\end{pmatrix} = f(r)\,f(s).

Інший приклад, ненульові комплексні числа утворюють групу над множенням, так само як ненульові дійсні числа. (Нуль треба виключити, бо він не має оберненого елемента, який повинен бути в елементів групи.) Визначимо функцію ƒ з ненульових комплексних чисел в ненульові дійсні числа так

f(z) = |z|.\,\!

Де, ƒ(z) — абсолютне значення (або модуль) комплексного числа z. Тоді ƒ — гомоморфізм групи, бо воно зберігає множення:

f(z_1 z_2) = |z_1 z_2| = |z_1|\,|z_2| = f(z_1)\,f(z_2).

Зауважте, що ƒ не можна поширити на гомоморфізм груп (з комплексних в дійсні), бо вона не зберігає додавання:

|z_1 + z_2| \ne |z_1| + |z_2|.

Типи гомоморфізмів[ред.ред. код]

Кожен тип алгебраїчних структур має свій гомоморфізм:

Часткові випадки[ред.ред. код]

Вищеозначені терміни використовуються і в теорії категорій, де вони визначені загальнішим чином.

Ядро та образ гомоморфізму[ред.ред. код]

\ x \sim y \;\; \iff \;\; \phi{(x)}=\phi{(y)}.

Відношення \ \sim називається ядром \ \phi.

Властивості[ред.ред. код]

  • Множина всіх ендоморфізмів множини X утворює моноїд, позначається End(X).
  • Множина всіх автоморфізмів множини X утворює групу, позначається Aut(X).

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]