Геометричні характеристики перерізів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Площа поперечного перерізу та статичний момент плоскої фігури у декартовій системі координат

Геометри́чні характери́стики пере́різів — числові величини (параметри), що визначають розміри, форму, розташування поперечного перерізу однорідного за пружними властивостями деформівного елемента конструкції і, як наслідок, характеризують опір цього елемента різним видам деформації.

Площа поперечного перерізу

[ред. | ред. код]

Розглянемо довільний поперечний переріз. Виділимо нескінченно малий елемент dA, положення якого в прямокутній системі координат визначається величинами x і y. У загальному випадку площа поперечного перерізу визначається у вигляді

Ця величина завжди додатна, має розмірність довжини в другій степені і виміряється у м², см², мм². Площа поперечного перерізу бруса є геометричною характеристикою його міцності й жорсткості не завжди, а лише при рівномірному розподілі механічних напружень у поперечному перерізі. При нерівномірному розподілі напружень, що має місце при роботі бруса в умовах кручення, його міцність і механічна жорсткість залежать уже від інших геометричних характеристик.

Статичний момент плоскої фігури

[ред. | ред. код]

Статичний момент плоскої фігури (англ. First moment of area) відносно осі х або у дорівнює добутку усієї площі фігури на відстань від її центру ваги до цієї осі.

Розглянемо переріз у довільній декартовій прямокутній системі координат xOy. Виберемо елемент площі dA. Тоді величина

буде називатися статичним моментом площі A відносно осі х.

Аналогічно  — статичний момент цієї площі відносно осі y.

Розмірність статичних моментів площі — одиниці довжини в третьому степені (м³, см³). Статичні моменти площі можуть бути додатними, від'ємними та рівними нулю.

Координати центра тяжіння

[ред. | ред. код]
Визначення координат центра тяжіння

Розглянемо той же переріз при паралельному переносі осей x1 = x — b; y1 = y — a. За визначенням:

Очевидно, що величини a і b можуть набувати довільних значень. Виберемо їх так, щоб виконувалися умови

,

Тоді, , , і осі x1, y1 називаються центральними осями, а точка їх перетину — центром тяжіння (ваги) перерізу. Отже, положення центра тяжіння перерізну (точка C) визначається виразами

, ,

Для випадків, коли переріз може бути розбитий на прості складові частини, площі й координати центрів тяжіння яких відомі, положення центра тяжіння всього перерізу визначають за формулами:

,
.

Моменти інерції плоских перерізів

[ред. | ред. код]

Моменти інерції плоских перерізів (англ. Second moment of area або англ. second moment of inertia). Розрізняють такі види моментів інерції плоских перерізів (фігур).

Осьовий момент інерції

[ред. | ред. код]

Осьовий момент інерції відносно розглянутої осі — сума добутків елементарних площ dA на квадрат їх відстаней до цієї осі, взята по всій площі перерізу A.

Полярний момент інерції

[ред. | ред. код]

Полярний момент інерції відносно даної точки — сума добутків елементарних площ dA на квадрати їх відстаней До цієї точки, взята по всій площі перерізу A:

Відцентровий момент інерції

[ред. | ред. код]

Відцентровий момент інерції відносно осей координат — сума добутків елементарних площ dA на їх відстані до цих осей, взята по всій площі перерізу A:

Відцентровий момент інерції мають розмірність м4 і може бути додатнім, від'ємним і рівним нулю. Осі, відносно яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, називаються головними центральними осями.

Момент опору

[ред. | ред. код]
Докладніше: Момент опору

Осьовий момент опору

[ред. | ред. код]

Осьовий момент опору відносно заданої осі — величина рівна моменту інерції відносно тієї ж осі віднесеному до відстані до найвіддаленішої від цієї осі точки перерізу:

;
.

Полярний момент опору

[ред. | ред. код]

Полярний момент опору аналогічно обчислюється за формулою:

,

де  — радіус розташування найвіддаленішої від осі кручення точки перерізу.

Радіус інерції

[ред. | ред. код]

Момент інерції фігури відносно довільної осі можна представити у вигляді добутку площі фігури на квадрат величини, яку називають радіусом інерції:

де  — радіус інерції відносно осі x. Тоді:

Джерела

[ред. | ред. код]

Посилання

[ред. | ред. код]