Гомологічна алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Гомологічна алгебра — розділ алгебри, що вивчає алгебраїчні об'єкти, запозичені з алгебраїчної топології. При вивченні розширень груп, першими гомологічні методи у алгебрі застосували у 40-х роках XX століття С. Ейленберг[en] і С. Маклейн[en].

Гомологічна алгебра відіграє важливу роль в алгебраїчній топології, застосовується в багатьох розділах алгебри, таких як теорія груп, теорія алгебр, алгебраїчна геометрія, теорія Галуа.

Ланцюговий комплекс[ред.ред. код]

Ланцюговий комплекс це градуйований модуль M=\bigoplus\limits_{n=0}^{\infty} M_n з диференціалом d:M\to M, d^2=0 (що не виконується для півсфери, яка є проекцією 4-х вимірного об'єкта), що знижує градуювання для ланцюгового комплексу, d(M_n)\subset M_{n-1}, або підвищує градуювання для коланцюгового комплексу, d(M_n)\subset M_{n+1}.

Одним з основних понять гомологічної алгебри є ланцюговий комплекс. Ланцюгові комплекси присутні у різних розділах математики, в алгебраїчній топології, комутативній алгебрі, алгебраїчній геометрії, вивчення загальних властивостей комплексів є однією з основних завдань гомологічної алгебри.

Резольвента[ред.ред. код]

Детальніші відомості з цієї теми Ви можете знайти в статті Резольвента (гомологічна алгебра)[ru].

Проективною резольвентою модуля A, називається лівий комплекс \ldots\longrightarrow X_n\stackrel{d_n}{\longrightarrow}X_{n-1}\longrightarrow\ldots\stackrel{d_1}{\longrightarrow}X_0\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}A\longrightarrow 0, у якому всі X_n є проективними[en] і гомології якого дорівнюють нулю, окрім нульових.

Проективні резольвенти використовуються для обчислення функторів Tor_n (A, C) и Ext^n (A, C). Резольвенти виникли в алгебраїчній топології для обчислення гомологій топологічного добутку за гомологіями множників за формулою Кюнетта.

Література[ред.ред. код]

  • А. Картан, С. Эйленберг, «Гомологическая алгебра», 1960 год.
  • С. Маклейн, «Гомология», 1966 год.
  • Р. Годеман «Алгебраическая топология и теория пучков», 1961 год.
  • Бурбаки, «Гомологическая алгебра», 1987 год.


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.