Теорія Галуа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорія Галуа — розділ алгебри, що вивчає зв'язок між розширенням полів (зокрема полями розкладу многочленів) і групами автоморфізмів у полях. Історично початок теорії поклали дослідження Евариста Галуа щодо розв'язності многочленів у радикалах де він використовував поняття груп перестановок коренів многочлена.

Застосування до класичних задач[ред.ред. код]

Теорія Галуа дає єдиний елегантний підхід до рішення таких класичних задач як

  1. Які фігури можна побудувати циркулем і лінійкою?
  2. Які алгебраїчні рівняння розв'язуються за допомогою стандартних операцій алгебри (додавання, віднімання, множення, ділення і обчислення кореня)?

Симетрії коренів[ред.ред. код]

Симетрії коренів — перестановки на множині коренів многочлена, для якого будь-якому алгебраїчному рівнянню з раціональними коефіцієнтами, якому задовольняють корені, задовольняють і перестановки коренів.

Приклад: квадратне рівняння[ред.ред. код]

У многочлена другого степеня a x² + b x + c є два корені x1 і x2, симетричні щодо точки x=-b/2a. Можливі два варіанти:

  • Якщо ці корені раціональні, то рівнянню x-x1=0 задовольняє тільки один корінь, і група рівняння тривіальна.
  • Якщо корені ірраціональні, то група містить один нетривіальний елемент x1x2, і ізоморфна \Z /2 \Z.

Складніший приклад[ред.ред. код]

Розглянемо тепер многочлен (x2−5)2−24.

Його корені: a=\sqrt{2}+\sqrt{3}, b=\sqrt{2}-\sqrt{3}, c=-\sqrt{2}+\sqrt{3}, d=-\sqrt{2}-\sqrt{3}.

Існує 4!=24 різних перестановки коренів цього рівняння, але не всі вони є симетріями. Елементи групи Галуа повинні зберігати будь-які рівняння алгебри з раціональними коефіцієнтами.

Одне з таких рівнянь - a+d=0. Оскільки a+c≠0, перестановка aa, bb, cd, dc не входить до групи Галуа.

Крім того, можна помітити, що (a+b)²=8, але (a+c)²=12. Тому перестановка aa, bc, cb, dd не входить до групи.

Остаточно можна одержати, що група Галуа многочлена складається з чотирьох перестановок:

(a, b, c, d) → (a, b, c, d)
(a, b, c, d) → (c, d, a, b)
(a, b, c, d) → (b, a, d, c)
(a, b, c, d) → (d, c, b, a)

і є 4-групою Клейна, ізоморфною (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}).

Формулювання в термінах теорії полів[ред.ред. код]

Теорія полів дає загальніше визначення групи Галуа. При сучасному підході до теорії Галуа основними об'єктами вивчення є скінченні розширення поля K та групи автоморфізмів на L/K (тобто ізоморфізмів α: LL для яких α(x) = x для всіх x з поля K). Дана група ізоморфізмів також називається групою Галуа. Якщо розширення поля є розширенням Галуа (тобто скінченним, нормальним і сепарабельним) то існує взаємно-однозначна відповідність між підгрупами групи Галуа і полями, такими, що KEL. Для довільного многочлена f над полем K, поле розкладу L цього многочлена є розширенням Галуа поля K, тож можна визначити його групу Галуа. Оскільки будь-який автоморфізм α з цієї групи залишає незмінними елементи поля K, а також α(0) = 0, то 0=α(f(x1))=α(f(x2)), де x1 — деякий корінь рівняння f, а x2 = α(x1). Отже кожен автоморфізм на L/K переводить корені рівняння в корені рівняння і відповідно визначає перестановку на множині цих коренів. Навпаки кожна перестановка на множині коренів рівняння визначає автоморфізм на L/K. Ці властивості показують зв'язок між класичною і сучасною теорією Галуа.

У класичній теорії Галуа як основне поле використовується поле раціональних чисел \mathbb{Q}.

Розв'язні групи і рішення рівнянь у радикалах[ред.ред. код]

Корені алгебраїчного рівняння P(x)=0 виражаються в радикалах тоді і тільки тоді, коли група рівняння розв'язна.

Існують многочлени n- го степеня над полем раціональних чисел група Галуа яких ізоморфна симетричній групі Sn, тобто складається зі всіх можливих перестановок. Оскільки групи Sn при n>4 не є розв'язною, існують многочлени степеня n, корені яких не можна записати у вигляді радикалів — теорема Абеля—Руффіні. Наприклад якщо многочлен незвідний над полем раціональних чисел, його степінь — просте число p і p-2 корені цього многочлена є дійсними то його група Галуа ізоморфна Sn. Прикладом такого многочлена є зокрема: f(x) = x^5 -6x +3

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Е.Артін, Теорія Галуа. — К.: Радянська школа, 1963.
  • Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
  • Постников М. М. Теория Галуа. — М.: Фізматгиз, 1963.
  • Howie, John Mackintosh (2006), Fields and Galois Theory, London: Springer, ISBN 1852339861 .