Гіпотеза Гольдбаха

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці гіпотезою Ґольдбаха називається наступне твердження:

Довільне парне число не менше чотирьох можна подати у вигляді суми двох простих чисел.

4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
16 = 3 + 13 = 5 + 11
18 = 5 + 13 = 7 + 11
20 = 3 + 17 = 7 + 13
і так далі.
Довільне непарне число не менше семи можна записати у вигляді суми трьох простих чисел.

Наприклад

7 = 3 + 2 + 2
9 = 3 + 3 + 3
і так далі.

Історія[ред.ред. код]

У 1742 році прусський математик Християн Ґольдбах написав лист Леонарду Ейлеру, в якому він висловив наступне припущення:

Кожне непарне число більше 5 можна представити у вигляді суми трьох простих чисел.

Ейлер зацікавився проблемою і висунув сильнішу гіпотезу:

Довільне парне число більше двох можна представити у вигляді суми двох простих чисел.

Перше твердження називається тернарною проблемою Ґольдбаха, друге - бінарною проблемою Ґольдбаха.

Тернарна проблема Ґольдбаха[ред.ред. код]

Тернарна проблема Ґольдбаха формулюється так:

Довільне непарне число не менше 7 можна записати у вигляді суми трьох непарних простих.

Це твердження було доведено для всіх достатньо великих чисел Виноградовим у 1937 році, за що він одержав Сталінську премію і звання Героя Соціалістичної Праці.

У 1923 році математики Гарді і Літлвуд показали, що у разі справедливості деякого узагальнення гіпотези Рімана, проблема Ґольдбаха буде справедливою для всіх достатньо великих непарних чисел. У 1937 році Виноградов подав доведення, не залежне від справедливості гіпотези Рімана, тобто довів, що будь-яке достатньо велике непарне число може бути подано у виді суми трьох простих.

Надалі результат Виноградова багато разів покращували, поки в 1989 році Ванг і Чен не опустили нижню грань до e^{e^{11,503}} \approx 3,33\cdot 10^{43000}, що, проте, як і раніше знаходиться за межами досяжності для явної перевірки всіх менших чисел при сучасному розвитку обчислювальної техніки.

У 1997 році Дезуйе, Еффінгер, Те Ріле і Зінов'єв показали, що з узагальненої гіпотези Рімана випливає справедливість слабкої проблеми Гольдбаха. Вони довели її справедливість для чисел, що перевищують 10^{20}, тоді як справедливість твердження для менших чисел легко встановлюється на комп'ютері.

Бінарна проблема Ґольдбаха[ред.ред. код]

Бінарна проблема Ґольдбаха формулюється так:

Довільне парне число більше двох можна подати у вигляді суми двох простих чисел.

Бінарна проблема Ґольдбаха далека від рішення.

Виноградов в 1937 році і Теодор Естерман в 1938 показали, що майже всі парні числа можна записати у вигляді суми двох простих чисел (частка тих чисел, що не задовольняють цю властивість, якщо вони існують, прямує до нуля). Цей результат трохи посилений 1975 року Х'ю Монтгомері (Hugh Montgomery) і Робертом Чарльзом Воном (Robert Charles Vaughan). Вони показали, що існують додатні константи c і C, такі що кількість парних чисел, не більших N, що не є сумою двох простих чисел, не перевищує CN^{1-c}. У 1995 році Ремер (Ramaré) довів, що будь-яке парне число — сума не більше 6 простих чисел.

У 1966 році Чень Цзінжунь (Chen Jingrun) довів, що будь-яке достатньо велике парне число є сумою двох простих чисел, або сумою простого числа і напівпростого числа (добутку двох простих чисел). Наприклад 100 = 23 + 7 \cdot 11.

На липень 2008 року бінарна гіпотеза Гольдбаха була перевірена для всіх парних чисел, що не перевищують 1,2 \cdot 10^{18}.

Більш слабкі результати, пов'язані з гіпотезою Гольдбаха[ред.ред. код]

  • 1920 Виго Брун довів, що будь-яке достатньо велике парне число може буди представлено у вигляді суми двох чисел з небільш ніж 9-ти простіх дільників.
  • 1923 Харді та Літлвуд довели, що якщо вірне де-яке узагальнення гіпотези Рімана, то для достатньо великих непарніх цілих чисел вірна й тернарна проблема Гольдбаха
  • 1930 Шнірельман довів, що будь-яке ціле число може буди представлено у вигляді суми не більше ніж 800 000 простих чисел.
  • 1937 Чудаков довів, що "майже всі" парні цілі числа можуть буди представлені как сума двох простіх чисел, тобто, що асимптотична плотність множини тих парніх цілих чисел, що не можно записати як сумму двох простих, дорівнює 0.
  • 1937 Виноградов довів, що будь-яке достатньо велике непарне число може буди представлено у вигляді суми трьох простих чисел. Проте лише його учень встановив границю цього "достатньо великого" числа як небільше за 3^{3^{15}}. Пізніше, цью границю зменшили до e^{3100}
  • 1947 Alfréd Rényi довів, що існує така константа K, що будь-яке ціле число може буди представлено як сумма простого числа та числа, у якого не більше K простих дільників
  • 1951 Ліник довів, що існує така константа K, що будь-яке парне циле число може буди представлено як сумма двох простих чисел та небільше K степенів двійки. У 2003 році Pintz й Ruzsa встановили, що K<=8
  • 1966 Чень Цзінжунь встановив, що будь-яке достатньо вілике парне ціле число може буди представлено як сумма або двох простих чисел, або простого та напівпростого чисел.
  • 1975 Хью Монтгомері та Роберт Чарльз Воган показали, що існує пара констант c та C такі що кількість парних чисел, не більших N, що не є сумою двох простих чисел, не перевищує CN^{1-c}
  • 1995 Олів'е Рамаре довів, що дуь-яке парне ціле число може буте представлено як сума не більше, ніж 6 простих чисел
  • 1997 Дезуйе, Эфінгер, те Ріле та Зинов'єв довели, що для чисел неменших за 10^{20} з узагальненої гіпотези Рімана випливає справедливість слабкої проблеми Гольдбаха.
  • 2012 Теренс Тао довів що будь-яке непарне число, більше ніж 1 може бути записано як сума небільш як п'яти простих чисел, покращуючи результат Олів'е Рамаре.
  • 2013 Харальд Хельфгот представив роботу (перевірка якої ще триває), де довів, що будь яке непарне циле число, більше за 10^{30} може бути записано як сумма трьох простих чисел. Для чисел, менше ніж 10^{30} результат встановлен безпосереньою перевіркою на компт'ютері.

Зараз з результата Харальда Хельфгота, якшо він виявиться вірним, віпливає, шо буль яке парне число, більше за 4 може бути представлено як сумма 2 чи 4 простих чисел, тому що парне число u, яке не є сумою двох простих, можно переписати як u = (u - 3) + 3, де перший додаток представляжться як сума трьох простих чисел за Хельфготом, а другий - 3 - є також простим: отже може будти представлено як сума не більш ніж 4 простих.

Посилання[ред.ред. код]

Weisstein, Eric W. Goldbach Conjecture(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.