Двоїстість Пуанкаре

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці, теорема двоїстості Пуанкаре, що названа на честь французького математика Анрі Пуанкаре, є основним твердженням про структуру груп гомологій та когомологій многовиду. Вона стверджує, що всі k-ті групи когомологій n-вимірного орієнтовного замкнутого многовиду M ізоморфні (n − k)-м групам гомологій M:

Історія[ред.ред. код]

Початковий варіант теореми двоїстості був сформульований Пуанкаре без доведення в 1893 році. Когомології були винайдені лише через два десятиліття після його смерті, тому ідею двоїстості він сформулював у термінах чисел Бетті: k-те та (nk)-те числа Бетті замкнутого (компактного без краю) орієнтовного n-вимірного многовиду рівні:

Пізніше Пуанкаре дав доведення цієї теореми у термінах двоїстих триангуляцій[1][2].

Сучасне формулювання[ред.ред. код]

Сучасне формулювання двоїстості Пуанкаре включає поняття гомологій і когомологій: якщо M — замкнутий орієнтовний n-вимірний многовид, k — ціле число, то існує канонічний ізоморфізм k-ї групи когомологій Hk(M) в (n − k)-ю группу гомологий Hn − k(M):

.

Цей ізіморфізм визначається фундаментальним класом многовиду :

,

де  — коцикл, обозначає -множення гомологічних та когомологічних класів. Тут наведено гомології і когомології з коефіцієнтами в кільці цілих чисел, але ізоморфізм має місце і для довільного кільця коефіцієнтів.

Для некомпактних орієнтовних многовидів когомології в цій формулі необхідно замінити на когомології з компактним носієм.

Для групи гомологій та когомологій, за означенням нульові, відповідно, згідно з двоїстістю Пуанкаре, групи гомологій і когомологій при на n-вимірному многовиді є нульовими.

Білінійне парування[ред.ред. код]

Нехай M замкнутий орієнтовний многовид, позначемо через кручення групи , і її вільну частину; всі групи гомологій беруться з цілими коефіцієнтами. Існують білінійні відображення:

і

(Здесь  — адитивна факторгрупа групи раціональних чисел за цілими.)

Перша форма називається індексом перетину, друга — коефіцієнтом зачеплення. Індекс перетину визначає невироджену двоїстість між вільним частинами груп і , коефіцієнт зачеплення — між крученнями груп і .

Твердження про те, що ці білінійні парування визначають двоїстість, означає, що відображення

і

є ізоморфізмами груп.

Цей результат є наслідком двоїстості Пуанкаре і теореми про універсальні коефіцієнти, що дають рівності и . Таким чином, групи є ізоморфними, хоча і не існує природного ізоморфізму, і, аналогічно, .

Примітки[ред.ред. код]

  1. Henri Poincaré, Complément à l'Analysis Situs, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 13 (1899) pages 285–343
  2. Henri Poincaré, Second complément à l'Analysis Situs, Proceedings of the London Mathematical Society, 32 (1900), pages 277–308

Література[ред.ред. код]

  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989