Факторгрупа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Факторгрупа — в теорії груп, група класів еквівалентності щодо деякого відношення еквівалентності. Тобто, фактормножина, що має властивості групи.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай  — група, і  — її нормальна підгрупа, тобто для довільного його класи суміжності збігаються:

Тоді на класах суміжності в можна ввести множення:

Легко перевірити, що це множення не залежить від вибору елементів в класах суміжності, тобто якщо і , то . Воно визначає структуру групи на множині класів суміжності, а одержана група називається факторгрупою по .

Факторгрупа позначається .

Властивості[ред.ред. код]

  • Теорема про гомоморфізм: Для довільного гомоморфізму
,
тобто фактор групи по ядру ізоморфний її образу в .
  • Відображенн задає природний гомоморфізм .
  • Порядок рівний індексу підгрупи . В випадку скінченної групи він рівний .
  • якщо абелева, нільпотентна, циклічна або скінченнопороджена, то і буде мати такі ж властивості.
  • ізоморфна тривіальній групі (), ізоморфна .

Приклади[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.