Дизайн механізмів

Дизайн механізмів (англ. mechanism design) — галузь дослідження в економічній теорії і теорії ігор, яка являє собою підхід створення механізмів і стимулів для досягнення бажаних цілей, де гравці діють раціонально, а дії економічних суб'єктів приводять до розв'язку, оптимального для функції соціального вибору. Цей підхід вперше запропонував Леонід Гурвич 1960 року.

Історія створення

Леонід Гурвич у 1959—1960 роках вперше сформулював основні положення економічних механізмів у своїй статті «Оптимальність та інформаційна ефективність у процесах розподілу ресурсів», 1973 року сформулював властивість правдивості, потім принцип виявлення, а 2006 року спільно зі Стенлі Райтером опублікував книгу «Дизайн економічних механізмів».

Ерік Мескін розробляв у своїх статтях за 1980—1984 роки так звану «теорію реалізації»: як зробити такий протокол, щоб він мав потрібні властивості. А Роджер Маєрсон у своїх статтях за 1979—1985 роки застосував цей підхід до аукціонів. Шведська королівська академія наук нагородила Нобелівською премією з економіки за 2007 рік Леоніда Гурвича, Еріка Мескіна і Роджера Маєрсона за «створення основ теорії оптимальних механізмів розподілу ресурсів».

Визначення

Дизайн економічних механізмів — підхід, що створює механізм взаємодії, за якого дії окремих економічних агентів приводять до рішення, оптимального для функції соціального вибору.

Механізм — це взаємодія економічних агентів, форма стратегічної гри. Гра — це опис дій гравців (економічних суб'єктів) і результат набору дій. За Л. Гурвичем, механізм — це взаємодія між суб'єктами і центром, де кожен суб'єкт сам посилає центру повідомлення $m_{i}$, а центр, отримавши їх, розраховує результат $Y=f(m_{1},...,m_{n})$, і надає цей результат $Y$, а іноді й приймає рішення.

Властивості

Механізм складається зі множини профілів стратегій $S$ і функції результату $\gamma$, що відображає $S$ на множину соціальних станів $\Theta$.

Схема реалізації процесу рівноваги в грі:

• задається механізм $(S,\gamma )$, що складається зі множини стратегій і функції результату;
• виходячи з реальних переваг $v^{1},v^{2},v^{3},...$ і використовуючи механізм (правила гри), гравці визначають свої оптимальні стратегії як профіль: $s^{1},s^{2},s^{3},...$;
• функція результату визначає соціальний стан з урахуванням профілю стратегій: $\theta =\gamma (s^{1},s^{2},s^{3},...)$;
• порівняння функції результату $\gamma$ з функцією соціального вибору $\Gamma$.

Механізм $(S,\gamma ())$ слабо реалізує функцію соціального вибору $\Gamma$ в домінівних стратегіях, якщо в цього механізму існує рівновага в домінівних стратегіях $(s^{1}(),s^{2}(),s^{3}(),...)$, така що:

$\gamma (s^{1}(v^{1}),s^{2}(v^{2}),s^{3}(v^{3}),...)=\Gamma (v^{1},v^{2},v^{3},...)$.

Прямий механізм $(V,\Gamma )$ — механізм, у якому функція результату $\gamma$ і є функцією соціального вибору $\Gamma$.

Функція соціального вибору $\Gamma$ правдиво реалізовна в домінівних стратегіях, якщо $s^{h}(v^{h})=v^{h},h=1,2,...,n_{k}$ є рівновагою в домінівних стратегіях для прямого механізму.

Принцип виявлення

Принцип виявлення

Якщо функція соціального вибору $\Gamma$ слабо реалізовна в домінівних стратегіях за допомогою механізму $(S,\gamma )$, то $\Gamma$ правдиво реалізовна в домінівних стратегіях за допомогою прямого механізму $(V,\Gamma )$.

На малюнку Принцип виявлення наведено реалізацію функції соціального вибору:

• механізму $(S,\gamma )$. Виходячи профілю переваги $v$ зі множини $V$ агент вибирає стратегії $(s^{1}(v^{1}),s^{2}(v^{2}),s^{3}(v^{3}),...)$, які мають рівновагу, підмножину $S$. Функція результатів має рівноважні стратегії на множині соціальних станів $\Theta$. Частина рівноваг (всі — за повної реалізації) приводять до соціального стану $\theta$.
• прямого механізму $(V,\Gamma )$. Функція соціального вибору використовується як механізм із профілем переваги $v$ зі множини $V$, що дає відразу $\theta$.

Побудова механізмів

Теорема Гіббарда — Саттертвейта. Якщо множина соціальних станів $\Theta$ містить не менше трьох елементів, а функцію соціального вибору $\Gamma$ визначено для множини $V$ всіх можливих профілів функцій корисності і $\Gamma$ правдиво реалізовна в домінівних стратегіях, то $\Gamma$ — диктаторська.

Тобто, якщо допускаються будь-які типи смаків, а сама множина соціальних станів велика, щоб становити інтерес, то єдиний спосіб досягти результату — дозволити одному з агентів діяти як диктатору. І навпаки, коли множина соціальних станів велика і механізм включає всі типи економічних агентів (ніхто не виступає диктатором), то результат не забезпечує правдивості. Рівновага в домінівних стратегіях визначалася як "чесність завжди найкраща політика": повідомляти правду про приховану інформацію — найкращий варіант дій для кожного агента $h$ незалежно від дій інших.

Реалізація за Нешом. Якщо функцію соціального вибору реалізовано за Нешом, то вона монотонна. Умова слабкої реалізації функції соціального вибору, заснованої на рівновазі Неша (говорити правду — рівновага Неша), може призвести до незадовільних результатів: агенти перебувають у рівновазі, в якій кожен найкращим чином реагує на стратегії інших, але результат непривабливий. У зв'язку з чим, необхідна повна реалізація, використовуючи рівновагу Неша (агент знає власні й чужі переваги, але їх не знає механізм), тоді і тільки тоді результат буде привабливим. Функція соціального вибору залишається диктаторською.

Теорема еквівалентності доходів. Якщо учасники нейтральні до ризику і кожен характеризується типом $r$, незалежно вибраним із загального розподілу зі строго додатною щільністю, то будь-який механізм аукціону, в якому об'єкт завжди дістається учаснику, який зробив найбільшу ставку, і будь-який учасник з найменшою оцінкою отримує нульову чисту вигоду, приносить один і той самий очікуваний дохід і призводить до того, що кожен учасник робить один і той самий очікуваний платіж, що є функцією його типу.

Механізм Кларка — Гровса

Теорема Кларка — Гровса. Механізм Гровса — механізм прямого виявлення $\Gamma =(\Theta _{1},...,\Theta _{I},f())$, в якому $f()=(k(),t_{1}(),...,t_{I}())$ задовольняє умовам:

$\sum _{i=1}^{I}v_{i}(k(\theta ),\theta _{i})\geq \sum _{i=1}^{I}v_{i}(k,\theta _{i})$ для всіх $\theta \in \Theta$ і $k\in K$

$t_{i}(\theta )=(\sum _{I\neq j}v_{j}(k^{*}(\theta ),\theta _{j})+h_{i}(\theta _{-i})$,

де $h_{i}()$ — довільна функція $\theta _{-i}$.

Механізм Кларка (механізм ключових учасників) — особливий випадок механізму Гровса, що задовольняє умовам:

$h_{i}(\theta _{-i})=-\sum _{i\neq j}v_{j}(k_{-i}^{*}(\theta _{-i}),\theta _{j})$

$\sum _{j\neq i}^{I}v_{j}(k_{-i}^{*}(\theta _{-i}),\theta _{j})\geq \sum _{j\neq i}^{I}v_{j}(k,\theta _{j})$ для всіх $k\in K$

$t_{i}(\theta )=\sum _{j\neq i}v_{j}(k^{*}(\theta ),\theta _{j})-\sum _{j\neq i}v_{j}(k_{-i}^{*}(\theta _{-i}),\theta _{j})$,

де $t_{i}\in R$ — трансферт товару-вимірювача («грошей») агенту $i$, $k$ - елемент скінченної множини K («вибір проєкту»).

У механізмі Кларка агент $i$, як ключовий для ефективного вибору проєкту, платить податок, рівний впливу його рішення на інших учасників, і не платить нічого в іншому випадку.

Обмеження

У випадках добровільної участі агентів у функціюванні механізмів функція соціального вибору має бути сумісною за стимулами і задовольняти обмеженням участі (або індивідуальної раціональності).

Теорема Маєрсона — Саттертвейта. При двосторонній торгівлі, в якій покупець і продавець нейтральні до ризику, оцінки $\theta _{1}$ і $\theta _{2}$ вибираються випадковим і незалежним способом з інтервалу $[{\underline {B}},{\overline {B}}]\forall R$ і $[{\underline {S}},{\overline {S}}]\forall R$ з додатними щільностями, з непорожнім перетином. А отже, не існує баєсівської сумісної за стимулами функції соціального вибору, яка ex-post ефективна і дає покупцю і продавцю будь-якого типу невід'ємну очікувану вигоду від участі.

Наслідок теореми: ніякий інститут добровільної торгівлі, який встановлює правила взаємодії покупця і продавця, не може мати рівноваги по Баєсом — Нешом, що веде до ex-post ефективного результату для всіх можливих реалізацій типів покупця і продавця. Наявність приватної інформації та добровільної участі виключає досягнення ефективності ex-post.

Див. також

• Дизайн ринку