Експоненційне зростання

Експоненційне зростання — зростання величини, за якого швидкість зростання прямо пропорційна значенню самої величини. Наприклад, коли величина стане втричі більшою за теперішню, вона зростатиме втричі швидше, ніж зараз.

Висловлюючись більш технічною мовою, миттєва швидкість зміни^[en] (тобто похідна) величини відносно незалежної змінної пропорційна самій цій величині. Часто незалежною змінною є час. Якщо описувати це як функцію, то величина, що зазнає експоненціального зростання, є експоненціальною функцією часу; тобто змінна, що позначає час, є показником степеня (на відміну від інших типів зростання, таких як квадратичне зростання). Експоненційне зростання є оберненим до логарифмічного зростання.

Не всі випадки зростання з постійно зростаючою швидкістю є прикладами експоненційного зростання. Наприклад, функція ${\textstyle f(x)=x^{3}}$ зростає з дедалі більшою швидкістю, але значно повільніше, ніж за експоненційним законом. Так, при ${\textstyle x=1,}$ вона зростає зі швидкістю, що утричі перевищує її значення, а при ${\textstyle x=10}$ — лише зі швидкістю, що становить 30 % від її значення. Якщо ж експоненційно зростаюча функція збільшується зі швидкістю, що у 3 рази перевищує її поточний розмір, то вона завжди зростає саме з такою відносною швидкістю. Коли вона стає у 10 разів більшою, ніж зараз, вона й зростає у 10 разів швидше.

Якщо коефіцієнт пропорційності є від'ємним, то величина з часом зменшується, і тоді йдеться про експоненційний спад. У випадку дискретної області визначення з рівними інтервалами це також називають геометричним зростанням або геометричним спадом, оскільки значення функції утворюють геометричну прогресію.

Формула експоненційного зростання змінної $x$ зі швидкістю зростання $r$ , у момент часу $t$ в дискретних інтервалах (тобто в цілі моменти часу 0, 1, 2, 3, …), має вигляд:

$x_{t}=x_{0}(1+r)^{t}$

де $x 0$ — значення $x$ у момент часу 0. Для ілюстрації часто наводять приклад зростання бактеріальної колонії: одна бактерія ділиться на дві, кожна з яких ділиться далі, унаслідок чого утворюються чотири, потім вісім, 16, 32 і т. д. Приріст постійно збільшується, оскільки він пропорційний щораз більшій кількості бактерій. Подібне зростання спостерігається й у реальних процесах та явищах, таких як поширення вірусної інфекції, зростання боргу внаслідок складних відсотків або поширення вірусних відео. В реальних умовах початкове експоненційне зростання зазвичай не триває нескінченно: згодом воно сповільнюється через наявність верхніх меж, зумовлених зовнішніми чинниками, і переходить у логістичне зростання.

Такі терміни, як «експоненційне зростання» інколи помилково тлумачать як «швидке зростання». Насправді ж те, що зростає експоненційно, на початкових етапах може зростати досить повільно^[1]^[2].

Приклади

Бактерії за оптимальних умов демонструють експоненційне зростання.

Біологія

Кількість мікроорганізмів у культурі зростає експоненційно доти, доки не вичерпується необхідна поживна речовина, після чого її вже не вистачає для подальшого росту нових організмів. Зазвичай перший організм ділиться на два дочірні, кожен із яких ділиться далі, утворюючи чотири, ті — вісім і так далі. Оскільки експоненційне зростання вказує на сталу швидкість зростання, часто припускають, що клітини, які зростають експоненційно, перебувають у стаціонарному стані. Проте клітини можуть зростати експоненційно зі сталою швидкістю, водночас перебудовуючи свій метаболізм і експресію генів^[3].
Вірус (наприклад COVID-19, або віспа) зазвичай на початковому етапі поширюється експоненційно, якщо відсутня штучна імунізація. Кожна інфікована особа може заразити кількох нових людей.

Фізичні науки

Пробій у діелектричному матеріалі: вільний електрон під дією зовнішнього електричного поля прискорюється настільки, що під час зіткнень з атомами або молекулами діелектричного середовища вивільняє додаткові електрони. Ці вторинні електрони також прискорюються, утворюючи дедалі більшу кількість вільних електронів. Унаслідок цього експоненційне зростання числа електронів та іонів може швидко призвести до повного електричного пробою матеріалу.
Ланцюгова ядерна реакція (принцип, на якому ґрунтується робота ядерних реакторів і ядерної зброї). Кожне ядро урану, що зазнає поділу, утворює кілька нейтронів, кожен з яких може бути поглинутий сусідніми атомами урану, спричиняючи їхній поділ. Якщо імовірність поглинання нейтронів перевищує ймовірність їх виходу з системи (що залежить від форми та маси урану), швидкість утворення нейтронів і індукованих поділів ядер урану зростає експоненційно, утворюючи неконтрольовану реакцію. «Через експоненційний характер зростання в будь-який момент ланцюгової реакції 99 % енергії вже буде вивільнено протягом останніх 4.6 покоління. Можна з достатньою точністю вважати, що перші 53 покоління становлять латентний період, який передує власне вибуху, що триває лише 3–4 покоління»^[5].
Позитивний зворотний зв'язок у лінійному діапазоні електричного або електроакустичного підсилення може призводити до експоненційного зростання підсиленого сигналу, хоча резонансні ефекти можуть надавати перевагу окремим частотним складовим сигналу.

Економіка

Економічне зростання зазвичай виражають у відсотках, що передбачає експоненційний характер зростання.

Фінанси

Складні відсотки за сталої процентної ставки забезпечують експоненційне зростання капіталу^[6]. Див. також Правило 72.
Пірамідальні схеми або схеми Понці також демонструють такий тип зростання, що приносить високі прибутки небагатьом початковим інвесторам і збитки великій кількості інших учасників.

Комп'ютерні науки

Обчислювальна потужність комп'ютерів. Див. також закон Мура та технологічна сингулярність. (За експоненційного зростання сингулярностей не існує; «сингулярність» тут є метафорою, покликаною передати уявно недосяжне майбутнє. Зв'язок цього гіпотетичного поняття з експоненційним зростанням найактивніше обстоює футуролог Реймонд Курцвайл.)
У теорії обчислювальної складності, алгоритми з експоненційною складністю потребують експоненційно зростаючих ресурсів (наприклад часу або комп'ютерної пам'яті) навіть для сталого збільшення розміру задачі. Так, для алгоритму з часовою складністю $2 x$ : якщо задача розміру $x = 10$ потребує 10 секунд, задача розміру $x = 11$ — 20 секунд, то для $x = 12$ знадобиться вже 40 секунд. Такі алгоритми зазвичай стають непридатними навіть для дуже малих розмірів задач — часто в діапазоні від 30 до 100 елементів (тоді як більшість комп'ютерних алгоритмів мають розв'язувати значно більші задачі — до десятків тисяч або навіть мільйонів елементів — за прийнятний час, що було б фізично неможливо для експоненційних алгоритмів). Вплив закону Мура тут також мало допомагає, оскільки подвоєння швидкості процесора лише збільшує допустимий розмір задачі на сталу величину. Наприклад, якщо повільний процесор може розв'язувати задачі розміру $x$ за час $t$ , то процесор удвічі швидший зможе за той самий час $t$ розв'язати лише задачі розміру $x + constant$ . Отже, алгоритми з експоненційною складністю найчастіше є непрактичними, і пошук ефективніших алгоритмів є однією з центральних цілей сучасної інформатики.

Інтернет-явища

Інтернет-контент, такий як меми чи відео, може поширюватися експоненційно; часто кажуть, що він «стає вірусним» — за аналогією з поширенням вірусів^[7]. У медіасередовищах, таких як соціальні мережі, одна людина може одночасно переслати той самий контент багатьом іншим, які потім поширюють його ще ширше і так далі, що спричиняє стрімке поширення^[8]. Наприклад, відео Gangnam Style було завантажене на YouTube 15 липня 2012 року, за перший день набрало сотні тисяч переглядів, на двадцятий день — мільйони, а менш ніж за два місяці сумарна кількість переглядів сягнула сотень мільйонів^[7]^[9].

Базова формула

Величина $x$ експоненційно залежить від часу $t$ , якщо $x(t)=a\cdot b^{t/\tau }$ де стала $a$ — початкове значення $x$ , $x(0)=a\,,$ стала $b$ — додатний коефіцієнт зростання, а $τ$ — постійна часу, тобто час, необхідний для збільшення $x$ в $b$ разів: $x(t+\tau )=a\cdot b^{(t+\tau )/\tau }=a\cdot b^{t/\tau }\cdot b^{\tau /\tau }=x(t)\cdot b\,.$

Якщо $τ > 0$ і $b > 1$ , то $x$ зазнає експоненційного зростання. Якщо $τ < 0$ і $b > 1$ або $τ > 0$ і $0 < b < 1$ , то $x$ зазнає експоненційного спаду.

Приклад: Якщо вид бактерій подвоюється кожні десять хвилин, починаючи з однієї бактерії, скільки бактерій буде через одну годину? З умови випливає: $a = 1$ , $b = 2$ і $τ = 10 хв$ .

$x(t)=a\cdot b^{t/\tau }=1\cdot 2^{t/(10{\text{ хв}})}$ $x(1{\text{ год}})=1\cdot 2^{(60{\text{ хв}})/(10{\text{ хв}})}=1\cdot 2^{6}=64.$

Через одну годину, тобто через шість десятихвилинних інтервалів, буде 64 бактерії.

Багато пар $(b, τ)$ де $b$ — безрозмірне невід'ємне число, а $τ$ — проміжок часу (фізична величина, яку можна подати як добуток числа на одиницю часу) задають одну й ту саму швидкість зростання; при цьому $τ$ пропорційна $log b$ . Для будь-якого фіксованого $b \neq 1$ (наприклад e або 2), швидкість зростання визначається ненульовим часом $τ$ . Для будь-якого ненульового $τ$ швидкість зростання визначається додатним безрозмірним числом $b$ .

Отже, закон експоненційного зростання можна записати в різних, але математично еквівалентних формах, використовуючи різні основи. Найпоширеніші з них: $x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }=x_{0}\cdot 2^{t/T}=x_{0}\cdot \left(1+{\frac {r}{100}}\right)^{t/p},$ де $x 0$ — початкове значення $x (0)$ .

Параметри (у разі експоненційного спаду — від'ємні):

константа зростання $k$ — частота (кількість разів за одиницю часу) зростання в $e$ разів; у фінансах її також називають логарифмічною дохідністю, безперервно нарахованою дохідністю або силою відсотка;
час e-кратного зростання^[en] τ — час, за який величина зростає в e разів;
час подвоєння^[en] T — час, за який величина подвоюється;
відсотковий приріст $r$ (безрозмірне число) за період $p$ .

Величини $k$ , $τ$ і $T$ , а також для заданого $p$ — і $r$ , пов'язані взаємно однозначно таким співвідношенням (яке можна отримати, взявши натуральний логарифм наведених вище формул): $k={\frac {1}{\tau }}={\frac {\ln 2}{T}}={\frac {\ln \left(1+{\frac {r}{100}}\right)}{p}}$ де $k = 0$ відповідає $r = 0$ і нескінченним $τ$ і $T$ .

Якщо $p$ є одиницею часу, то частка $t / p$ — це просто кількість одиниць часу. За умови використання позначення $t$ для (безрозмірної) кількості одиниць часу замість самого часу, $t / p$ можна замінити на $t$ , однак для уніфікації цього тут не зроблено. У такому разі ділення на $p$ в останній формулі також не є числовим діленням; воно перетворює безрозмірне число на відповідну величину з урахуванням одиниці вимірювання.

Популярним наближеним методом обчислення часу подвоєння за відомою швидкістю зростання є правило 72, тобто, $T\simeq 70/r$ .

Графіки, що порівнюють часи подвоєння та періоди напіврозпаду для експоненційного зростання (жирні лінії) і спаду (тонкі лінії), а також їхні наближення 70/t і 72/t. У SVG-версії, наведіть курсор на графік, щоб виділити його та його доповнення.

Переформулювання у вигляді лог-лінійного зростання

Якщо змінна $x$ демонструє експоненційне зростання за законом $x(t)=x_{0}(1+r)^{t}$ , то логарифм (за будь-якою основою) величини $x$ зростає лінійно з часом, що видно з логарифмування обох частин: $\log x(t)=\log x_{0}+t\cdot \log(1+r).$

Це дає змогу моделювати експоненційне зростання за допомогою лог-лінійної моделі^[en]. Наприклад, якщо потрібно емпірично оцінити швидкість зростання за міжчасовими даними для $x$ , можна виконати лінійну регресію $log x$ на $t$ .

Диференціальне рівняння

Показникова функція $x(t)=x_{0}e^{kt}$ задовольняє лінійне диференціальне рівняння: ${\frac {dx}{dt}}=kx$ яке стверджує, що миттєва зміна $x$ у момент часу $t$ пропорційна значенню $x (t)$ , а початкове значення^[en] $x (t)$ становить $x(0)=x_{0}$ .

Рівняння розв'язується безпосереднім інтегруванням: ${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=kx\\[5pt]{\frac {dx}{x}}&=k\,dt\\[5pt]\int _{x_{0}}^{x(t)}{\frac {dx}{x}}&=k\int _{0}^{t}\,dt\\[5pt]\ln {\frac {x(t)}{x_{0}}}&=kt.\end{aligned}}$ звідки $x(t)=x_{0}e^{kt}.$

У наведеному диференціальному рівнянні, якщо $k < 0$ , то величина зазнає експоненційного спаду.

Нелінійну модифікацію цієї моделі зростання див. у логістичній функції.

Інші темпи зростання

У довгостроковій перспективі експоненційне зростання будь-якого типу випереджає лінійне зростання будь-якого типу (що лежить в основі сценарію мальтузіанської катастрофи), а також будь-яке поліноміальне зростання, тобто для всіх $α$ : $\lim _{t\to \infty }{\frac {t^{\alpha }}{ae^{t}}}=0.$

Існує ціла ієрархія можливих темпів зростання, які (у довгостроковому сенсі) є повільнішими за експоненційне, але швидшими за лінійне.

Темпи зростання можуть бути й швидшими за експоненційні. У найекстремальнішому випадку, коли зростання за скінченний час необмежено збільшується, його називають гіперболічним зростанням. Між експоненційним і гіперболічним зростанням існують інші класи поведінки зростання, зокрема гіпероперації, починаючи з тетрації, а також $A(n,n)$ , тобто діагональ функції Акермана.

Логістичне зростання

Докладніше: Логістична рівність

На практиці початкове експоненційне зростання часто не зберігається нескінченно довго. Через певний час воно сповільнюється під впливом зовнішніх або середовищних чинників. Наприклад, зростання чисельності населення може досягати верхньої межі через обмеженість ресурсів^[10]. У 1845 році бельгійський математик П'єр Франсуа Ферхюльст вперше запропонував математичну модель такого типу зростання, яку назвав «логістичним зростанням»^[11].

Обмеження моделей

Докладніше: Межі зростання, Мальтузіанство і Видимий рівень зараження^[en]

Моделі експоненційного зростання фізичних явищ застосовні лише в обмежених діапазонах, оскільки необмежене зростання фізично нереалістичне. Хоча на початковому етапі зростання може бути експоненційним, згодом змодельовані явища входять у режим, у якому істотними стають раніше проігноровані чинники негативного зворотного зв'язку (що веде до логістичної моделі зростання) або ж порушуються інші базові припущення експоненційної моделі, такі як неперервність чи миттєвість зворотного зв'язку.

Упередження щодо експоненційного зростання

Дослідження показують, що людям важко інтуїтивно зрозуміти експоненційне зростання. Упередження експоненційного зростання — це схильність недооцінювати процеси складного зростання. Це упередження може мати й фінансові наслідки^[12].

Рис на шахівниці

Див. також: Задача про пшеницю та шахівницю^[en]

Згідно з легендою, візир Сісса бен Дахір подарував індійському царю Шараму прекрасну шахівницю ручної роботи. Цар поцікавився, чого візир бажає натомість, і той здивував його, попросивши покласти одне зерно рису на першу клітинку, два — на другу, чотири — на третю і так далі. Цар охоче погодився й наказав принести рис. Спочатку все йшло добре, але вимога покласти $2 n -1$ зерен на $n$ -ту клітинку означала понад мільйон зерен уже на 21-й клітинці, понад мільйон мільйонів (тобто трильйон^[en]) — на 41-й, і зрештою рису в усьому світі просто не вистачило для останніх клітинок (за Свірським, 2006)^[13].

Вираз «друга половина шахівниці»^[en] означає момент, коли експоненційно зростаючий чинник починає суттєво впливати на загальну бізнес-стратегію організації.

Водяна лілея

Французьким дітям пропонують загадку, яка ілюструє аспект експоненційного зростання — «уявну раптовість», із якою експоненційно зростаюча величина наближається до фіксованої межі. У задачі йдеться про рослину водяної лілеї, що росте в ставку. Рослина подвоює свої розміри щодня і, якщо її не чіпати, за 30 днів повністю вкриє ставок, знищивши все інше живе у воді. День за днем зростання здається незначним, тож вирішують, що проблема виникне лише тоді, коли рослина покриє половину ставка. На який день це станеться? На 29-й день, залишивши лише один день, щоб урятувати ставок^[14]^[13].

Див. також

Примітки

↑ Suri, Manil (4 березня 2019). Opinion | Stop Saying 'Exponential.' Sincerely, a Math Nerd. The New York Times (англ.).
↑ 10 Scientific Words You're Probably Using Wrong. HowStuffWorks (англ.). 11 липня 2014.
↑ Slavov, Nikolai; Budnik, Bogdan A.; Schwab, David; Airoldi, Edoardo M.; van Oudenaarden, Alexander (2014). Constant Growth Rate Can Be Supported by Decreasing Energy Flux and Increasing Aerobic Glycolysis. Cell Reports (англ.). 7 (3): 705—714. doi:10.1016/j.celrep.2014.03.057. ISSN 2211-1247. PMC 4049626. PMID 24767987.
↑ Hurricane Damage Potential (англ.). National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA). 8 вересня 2023. Архів оригіналу за 7 лютого 2025.
↑ Sublette, Carey. Introduction to Nuclear Weapon Physics and Design (англ.). Nuclear Weapons Archive. Процитовано 26 травня 2009.
↑ Crauder, Evans, Noell, 2008, pp. 314—315.
↑ ^а ^б Ariel Cintrón-Arias (2014). To Go Viral (англ.). arXiv:1402.3499 [physics.soc-ph].
↑ Karine Nahon; Jeff Hemsley (2013). Going Viral (англ.). p. 16: Polity. ISBN 978-0-7456-7129-1.
↑ YouTube (2012). Gangnam Style vs Call Me Maybe: A Popularity Comparison. YouTube Trends (англ.).
↑ Crauder, Bruce; Evans, Benny; Noell, Alan (2008). Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra (англ.). p. 398: Houghton Mifflin Harcourt. ISBN 978-1-111-78502-4.
↑ Bernstein, Ruth (2003). Population Ecology: An Introduction to Computer Simulations (англ.). p. 37: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-85148-7.
↑ Stango, Victor; Zinman, Jonathan (2009). Exponential Growth Bias and Household Finance. The Journal of Finance (англ.). pp. 2807–2849. 64 (6). doi:10.1111/j.1540-6261.2009.01518.x.
↑ ^а ^б Porritt, Jonathan (2005). Capitalism: as if the world matters (англ.). London: Earthscan. с. 49. ISBN 1-84407-192-8.
↑ Meadows, Donella (2004). The Limits to Growth: The 30-Year Update (англ.). p. 21: Chelsea Green Publishing. ISBN 9781603581554.

Джерела

Крижанівський С.Є. Диференціальні рівняння. — Х.: : ДНТВУ.НКТП, 1938. — 398 с.(укр.)
Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 2000+ с.(укр.)
Meadows, Donella. Randers, Jorgen. Meadows, Dennis. The Limits to Growth: The 30-Year Update. Chelsea Green Publishing, 2004. ISBN 9781603581554
Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers, and William W. Behrens III. (1972) The Limits to Growth. New York: University Books. ISBN 0-87663-165-0
Porritt, J. Capitalism as if the world matters, Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-8
Swirski, Peter. Of Literature and Knowledge: Explorations in Narrative Thought Experiments, Evolution, and Game Theory. New York: Routledge. ISBN 0-415-42060-1
Thomson, David G. Blueprint to a Billion: 7 Essentials to Achieve Exponential Growth, Wiley Dec 2005, ISBN 0-471-74747-5
Tsirel, S. V. 2004. On the Possible Reasons for the Hyperexponential Growth of the Earth Population. Mathematical Modeling of Social and Economic Dynamics / Ed. by M. G. Dmitriev and A. P. Petrov, pp. 367–9. Moscow: Russian State Social University, 2004.

Посилання

Зростання у скінченному світі — сталий розвиток і експоненційна функція — Презентація
Д-р Альберт Бартлетт: арифметика, населення та енергія — потокове відео й аудіо (58 хв)

[1] Suri, Manil (4 березня 2019). Opinion | Stop Saying 'Exponential.' Sincerely, a Math Nerd. The New York Times (англ.).

[2] 10 Scientific Words You're Probably Using Wrong. HowStuffWorks (англ.). 11 липня 2014.

[SlavovBudnik2014-3] Slavov, Nikolai; Budnik, Bogdan A.; Schwab, David; Airoldi, Edoardo M.; van Oudenaarden, Alexander (2014). Constant Growth Rate Can Be Supported by Decreasing Energy Flux and Increasing Aerobic Glycolysis. Cell Reports (англ.). 7 (3): 705—714. doi:10.1016/j.celrep.2014.03.057. ISSN 2211-1247. PMC 4049626. PMID 24767987.

[NOAA_WindDamagePotential_2023-4] Hurricane Damage Potential (англ.). National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA). 8 вересня 2023. Архів оригіналу за 7 лютого 2025.

[5] Sublette, Carey. Introduction to Nuclear Weapon Physics and Design (англ.). Nuclear Weapons Archive. Процитовано 26 травня 2009.

[FOOTNOTECrauder,_Evans,_Noell2008314—315-6] Crauder, Evans, Noell, 2008, pp. 314—315.

[aca-7] а ^б Ariel Cintrón-Arias (2014). To Go Viral (англ.). arXiv:1402.3499 [physics.soc-ph].

[8] Karine Nahon; Jeff Hemsley (2013). Going Viral (англ.). p. 16: Polity. ISBN 978-0-7456-7129-1.

[9] YouTube (2012). Gangnam Style vs Call Me Maybe: A Popularity Comparison. YouTube Trends (англ.).

[10] Crauder, Bruce; Evans, Benny; Noell, Alan (2008). Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra (англ.). p. 398: Houghton Mifflin Harcourt. ISBN 978-1-111-78502-4.

[11] Bernstein, Ruth (2003). Population Ecology: An Introduction to Computer Simulations (англ.). p. 37: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-85148-7.

[12] Stango, Victor; Zinman, Jonathan (2009). Exponential Growth Bias and Household Finance. The Journal of Finance (англ.). pp. 2807–2849. 64 (6). doi:10.1111/j.1540-6261.2009.01518.x.

[Porritt-2005-13] а ^б Porritt, Jonathan (2005). Capitalism: as if the world matters (англ.). London: Earthscan. с. 49. ISBN 1-84407-192-8.

[Meadows-2004-14] Meadows, Donella (2004). The Limits to Growth: The 30-Year Update (англ.). p. 21: Chelsea Green Publishing. ISBN 9781603581554.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

п о р Гіпероперації
Основні	Наступник (0) Додавання (1) Множення (2) Степінь (3) Тетрація (4) Пентація (5) Гексація (6)
Обернена до лівого аргументу	Попередник (0) Віднімання (1) Ділення (2) Корінь (3) Суперкорінь (4)
Обернена до правого аргументу	Попередник (0) Віднімання (1) Ділення (2) Логарифм (3) Суперлогарифм (4)
Класифікації	Функція Акермана Ієрархія Гжегорчика Нотація Кнута Нотація Конвея Нотація Штейнгауза — Мозера Нотація Бауерса

п о р Великі числа
Приклади чисел в порядку збільшення	Тисяча Десять тисяч Сто тисяч Мільйон Мільярд Трильйон Квадрильйон Квінтильйон Секстильйон Гугол Гуголплекс Число Ск'юза Число Мозера Число Грема TREE(3) SSCG(3) Число Райо Трансфінітне число
Нотації	Експоненційний запис Гіпероператор Нотація Кнута Нотація Конвея Нотація Штейнгауза — Мозера Нотація Бауерса
Функції	Гіпероператор Тетрація Пентація Функція Акермана Функція Веблена Псі-функції Бухгольца Ієрархія Гжегорчика Розширена ієрархія Ґжеґорчика Ієрархія Харді
Статті за темою	Найбільше відоме просте число Невласне число Нескінченно мала величина Системи найменувань чисел Степені 2 Степені 10 Список чисел

Тематичні сайти	Quora
Словники та енциклопедії	Велика данська енциклопедія · Велика норвезька енциклопедія · Encyclopædia Britannica · Encyclopædia Britannica
Нормативний контроль	Freebase: /m/01b7qb