Показникова функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Показникова функція

Показнико́ва або ж Експоненці́йна фу́нкціяфункція виду , де — стале число (додатне, але не дорівнює одиниці).

У дійсному випадку основа степеня — деяке додатне дійсне число, а аргументом функції є дійсний показник степеня.

Показникова функція узагальнюється в теорії комплексних функцій, де аргумент і показник степеня можуть бути довільними комплексними числами.

У найзагальнішому вигляді — , введена Лейбніцем в 1695 році.

Особливо виділяється випадок, коли як основа степеня виступає число e. Така функція називається експонентою (дійсною або комплексною).

Визначення[ред.ред. код]

Нехай — додатне дійсне число, раціональне число: . Тоді визначається за такими правилами.

  • Якщо , то .
  • Якщо , то .
  • Якщо , то (для ).

Для довільного дійсного показника значення можна визначити як границю послідовності, де - раціональні числа, що сходяться до . Для експоненти є і інші визначення через границю, наприклад:

Основні властивості[ред.ред. код]

Дійсна показникова функція визначена на всій дійсній осі і більше нуля. При вона всюди зростає; при функція спадає на всій області визначення.

Виконуються тотожності

Зворотна функція до показникової функції — логарифм.

Показникова функція росте на нескінченності швидше будь-якої степеневої:

Показникова функція нескінченно диференційована, її похідна

Експонента[ред.ред. код]

e — це таке унікальне число a, при якому похідна (іншими словами тангенс кута нахилу дотичної) показникової функції f (x) = ax (синя крива) в точці x = 0 в точності дорівнює 1. Для порівняння показані функції 2x (точкова крива) та 4x (пунктирна крива); тангенс нахилу їхньої дотичної відмінний від 1 (ця дотична намальована червоним)

Експонента () — функція , де e — основа натурального логарифма ( - число Ейлера).

Властивості[ред.ред. код]

Експонента визначена на всій дійсній осі. Вона усюди зростає і більше нуля. Зворотна функція до неї — натуральний логарифм.

Експонента нескінченно диференційована. Її похідна в точці нуль дорівнює "1", тому дотична в цій точці проходить під кутом 45°.

Основна функціональна властивість експоненти: . Неперервна функція з такою властивістю або тотожно дорівнює 0, або має вид , де — деяка константа.

Формальне визначення[ред.ред. код]

Експоненційна функція (синя лінія), і сума перших n + 1 членів степеневого ряду записаного зліва (червона лінія).

Експоненціальна функція може бути визначена двома еквівалентними способами. Через ряд Тейлора:

або через границю:

Тут x — довільне дійсне, комплексне, p-адичне число або обмежений лінійний оператор.

Комплексна експонента[ред.ред. код]

Графік експоненти в комплексній площині.
Легенда

Комплексна експонента — математична функція, що означається співвідношенням , де є комплексним числом. Комплексна експонента означається як аналітичне продовження експоненти дійсної змінної :

Означимо формальний вираз

.

Означений таким чином вираз на дійсній осі буде збігатися з класичною дійсною експонентою. Для повної коректності побудови необхідно довести аналітичність функції , тобто показати, що розкладається в деякий збіжний до даної функції ряд. Покажемо це:

Збіжність даного ряду легко доводиться:

.

Ряд усюди збігається абсолютно, тобто взагалі всюди збігається, таким чином, сума цього ряду в кожній конкретній точці буде визначати значення аналітичної функції . Відповідно до теореми єдиності, отримане продовження буде єдиним, отже, на комплексній площині функція всюди визначена і аналітична.

Властивості[ред.ред. код]

  • Комплексна експонента — ціла голоморфна функція на всій комплексній площині. Ні в одній точці вона не обертається в нуль.
  •  — періодична функція з основним періодом 2πi: . Через періодичність комплексна експонента має безліч листів. Як її однолистну область можна вибрати будь-яку горизонтальну смугу висотою .
  • — єдина функція, похідна (а також відповідно й інтеграл) якої дорівнює самій собі.
  • Алгебрично експонента від комплексного аргументу може бути визначена наступним чином:
    (формула Ейлера)

Література[ред.ред. код]

  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 

Додаткова інформація[ред.ред. код]