Показникова функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Показникова функція
Зображення
Область значень множина додатних дійсних чиселd
Підтримується Вікіпроєктом Вікіпедія:Проєкт:Математика
Протилежне логарифм
CMNS: Показникова функція у Вікісховищі

Показнико́ва, або експоненці́йна фу́нкція (англ. exponential function) — функція виду , де  — стале число (додатне, але відмінне від одиниці).

У дійсному випадку основа степеня — деяке додатне дійсне число, а аргументом функції є дійсний показник степеня.

Показникова функція узагальнюється в теорії комплексних функцій, де аргумент і показник степеня можуть бути довільними комплексними числами.

У найзагальнішому вигляді — , введена Лейбніцем 1695 року.

Особливо виділяється випадок, коли як основа степеня виступає число e. Така функція називається експоне́нтою (дійсною або комплексною).

Визначення

[ред. | ред. код]

Нехай  — додатне дійсне число,  — раціональне число: . Тоді визначається за такими правилами.

  • Якщо , то .
  • Якщо , то .
  • Якщо , то (для ).

Показникову функцію можливо визначити багатьма еквівалентними способами. Зазвичай її визначають за допомогою наступного степеневого ряду:[1]

Оскільки радіус збіжності цього степеневого ряду є нескінченним, це визначення застосовується для всіх комплексних чисел . Сталу e можна визначити як .

Для довільного дійсного показника значення можна визначити як границю послідовності , де  — раціональні числа, що сходяться до . Для експоненти є й інші визначення через границю, наприклад:

Основні властивості

[ред. | ред. код]

Дійсну показникову функцію визначено на всій дійсній осі більше нуля. При вона всюди зростає; при функція спадає на всій області визначення.

Виконуються тотожності

  • ;
  • ;
  • .

Зворотна функція до показникової функції — логарифм.

Показникова функція росте на нескінченності швидше будь-якої степеневої:

Показникова функція нескінченно диференційована, її похідною є

Експонента

[ред. | ред. код]
e — це таке унікальне число a, при якому похідна (іншими словами тангенс кута нахилу дотичної) показникової функції f (x) = ax (синя крива) в точці x = 0 в точності дорівнює 1. Для порівняння показані функції 2x (точкова крива) та 4x (пунктирна крива); тангенс нахилу їхньої дотичної відмінний від 1 (ця дотична намальована червоним)

Експонента () — функція , де e — основа натурального логарифма ( — число Ейлера).

Докладніше: Експонента

Властивості

[ред. | ред. код]

Експонента є визначеною на всій дійсній осі. Вона усюди зростає й є більшою за нуль. Зворотною функцією до неї є натуральний логарифм.

Експонента є нескінченно диференційованою. Її похідна в точці нуль дорівнює «1», тому дотична в цій точці проходить під кутом 45°.

Основна функціональна властивість експоненти: . Неперервна функція з такою властивістю або тотожно дорівнює 0, або має вид , де  — деяка стала.

Формальне визначення

[ред. | ред. код]
Експоненційна функція (синя лінія), і сума перших n + 1 членів степеневого ряду записаного зліва (червона лінія).

Експоненційну функцію може бути означено двома еквівалентними способами. Через ряд Тейлора:

або через границю:

Тут x — довільне дійсне, комплексне, p-адичне число або обмежений лінійний оператор.

Комплексна експонента

[ред. | ред. код]
Графік експоненти в комплексній площині.
Легенда

Комплексна експонента — математична функція, що означується співвідношенням , де є комплексним числом. Комплексна експонента означується як аналітичне продовження експоненти дійсної змінної :

Означмо формальний вираз

.

Означений таким чином вираз на дійсній осі буде збігатися з класичною дійсною експонентою. Для повної коректності побудови необхідно довести аналітичність функції , тобто показати, що розкладається в деякий збіжний до даної функції ряд. Покажемо це:

Збіжність даного ряду легко доводиться:

.

Ряд усюди збігається абсолютно, тобто взагалі всюди збігається, таким чином, сума цього ряду в кожній конкретній точці буде визначати значення аналітичної функції . Відповідно до теореми єдиності, отримане продовження буде єдиним, отже, на комплексній площині функція є всюди визначеною й аналітичною.

Властивості

[ред. | ред. код]
  • Комплексна експонента — ціла голоморфна функція на всій комплексній площині. Вона в жодній точці не обертається на нуль.
  •  — періодична функція з основним періодом 2πi: . Через періодичність комплексна експонента має безліч листів. Як її однолисну область можна вибрати будь-яку горизонтальну смугу висотою .
  •  — єдина функція, похідна (а також, відповідно, й інтеграл) якої дорівнює їй самій.
  • Алгебрично експоненту від комплексного аргументу може бути визначено наступним чином:
    (формула Ейлера)

Графіки функції

[ред. | ред. код]

Показникова функція відображує будь-яку пряму в комплексній площині у логарифмічну спіраль на комплексній площині з центром в початку координат. Необхідно відмітити два особливі випадки: коли початкова пряма є паралельною до осі дійсних чисел, отримувана в результаті спіраль ніколи не замикається в собі; коли пряма є паралельною осі уявних чисел, отримувана в результаті спіраль є колом із деяким радіусом.

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Rudin, Walter (1987). Real and complex analysis (PDF) (вид. 3rd). New York: McGraw-Hill. с. 1. ISBN 978-0-07-054234-1. (англ.)

Література

[ред. | ред. код]

Посилання

[ред. | ред. код]