Експонента (функція)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Графік експоненти (синім).
Дотична (червоним) в нулі у функції нахилена на .
Поруч для прикладу показано (точками) і (пунктиром)

Експонентапоказникова функція , де число Ейлера .

Визначення[ред. | ред. код]

Експоненціальна функція може бути визначена різними еквівалентними способами. Наприклад, через ряд Тейлора:

або через границю:

Тут — будь-яке комплексне число.

Властивості[ред. | ред. код]

  • , а зокрема, експонента — єдине рішення диференціального рівняння з початковими даними . Крім того, через експоненту виражаються загальні рішення однорідних диференціальних рівнянь.
  • Експонента визначена на всій дійсній осі. Вона всюди зростає і строго більше нуля.
  • Експонента — опукла функція.
  • Обернена функція до неї — натуральний логарифм .
  • Фур'є-образ експоненти не існує.
  • Однак перетворення Лапласа існує.
  • Похідна в нулі дорівнює , тому дотична до експоненті в цій точці проходить під кутом .
  • Основна функціональна властивість експоненти, як і всякої показникової функції:
    .
    • Безперервна функція з такою властивістю або тотожно дорівнює , або має вигляд , де — деяка константа.

Комплексна експонента[ред. | ред. код]

Графік експоненти в комплексній площині.
Легенда

Комплексна експонента — математична функція, що задається співвідношенням , де є комплексне число. Комплексна експонента визначається як аналітичне продовження експоненти речовинного змінного :

Визначимо формальний вираз

.

Визначений таким чином вираз на дійсній осі буде збігатися з класичною дійсною експонентою. Для повної коректності побудови необхідно довести аналітичність функції , тобто показати, що розкладається в деякий збіжний ряд, що збігається до даної функції . Покажемо це:

Збіжність цього ряду легко доводиться:

.

Ряд усюди збігається абсолютно, тобто взагалі усюди збігається, таким чином, сума цього ряду в кожній конкретній точці буде визначати значення аналітичної функції . Згідно теореми єдиності, отримане продовження буде єдино, отже, на комплексній площині функція всюди визначена і аналітична.

Властивості[ред. | ред. код]

  • Комплексна експонента — ціла голоморфна функція на всій комплексній площині. В жодній точці вона не звертається в нуль.
  • періодична функція з основним періодом 2πi: . У силу періодичності комплексна експонента безкінечнолистна. В якості її області однолистності можна вибрати будь-яку горизонтальну смугу висотою .
  • — єдина з точністю до постійного множника функція, похідна (а відповідно, і первісна) якої збігається з вихідною функцією.
  • Алгебраїчно експонента від комплексного аргументу може бути визначена наступним чином:
    (формула Ейлера)

Варіації та узагальнення[ред. | ред. код]

Аналогічно експонента визначається для елемента довільної асоціативної алгебри. У конкретному випадку потрібен також доказ того, що зазначені межі існують.

Матрична експонента[ред. | ред. код]

Експоненту від квадратної матриці (або лінійного оператора) можна формально визначити, підставивши матрицю у відповідний ряд:

Визначений таким чином ряд збігається для будь-якого оператора з обмеженою нормою, оскільки мажорується поруч для експоненти норми Отже, експонента матриці завжди визначена і сама є матрицею.

За допомогою матричної експоненти легко задати вид рішення лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами: рівняння з початковою умовою має своїм рішенням

h-експонента[ред. | ред. код]

Введення -експоненти засноване на другій чудовій границі:

При виходить звичайна експонента[1].

Обернена функція[ред. | ред. код]

Обернена функція до експоненційної функції — натуральний логарифм. Позначається :

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
  • Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

Посилання[ред. | ред. код]