Зовнішня міра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, зокрема в теорії міри, зовнішня міра — це функція, визначена на всіх підмножинах даної множини з дійсним значенням, що задовольняє кільком додатковим технічним умовам.

Загальна теорія зовнішньої міри була розроблена Каратеодорі з метою забезпечити основу для теорії вимірних множин і зліченно-адитивних мір. Роботи Каратеодорі з зовнішньої міри знайшли чимало застосувань в теорії вимірних множин (зовнішня міра, наприклад, використовується в доведенні фундаментальної теореми Каратеодорі про продовження), і була використана Гаусдорфом для визначення метричного інваріанту, що узагальнює розмірність, зараз він зветься Гаусдорфовою розмірністю.

Міра узагальнює довжину, площу і об'єм, але також находить застосування для багатьох абстрактніших і незвичних речей, крім інтервалів або ж куль в \mathbb{R}^{3}.

Випадок числової прямої[ред.ред. код]

Для довільної підмножини E числової прямої можна знайти як завгодно багато різних систем зі скінченної чи зліченної кількості інтервалів, об'єднання яких містить множину E. Назвемо такі системи покриттями. Оскільки сума довжин інтервалів, що складають будь-яке покриття, є величиною невід'ємною, вона обмежена знизу, і, значить, множина довжин всіх покриттів має точну нижню межу. Ця грань, залежна тільки від множини E, і називається зовнішньою мірою:

m^*E=\inf\left\{\sum_{i}\Delta_i\right\}

Варіанти позначення зовнішньої міри:

m^*E=\varphi(E)=|E|^*

Формальне означення[ред.ред. код]

Нехай X - фіксована універсальна множина.

Зо́внішньою мі́рою називається функція \mu^{*}\colon 2^{X} \longrightarrow [0,\, +\infty] така, що

  1. \mu^{*}(\varnothing) = 0;
  2. \forall A \subseteq X,\, \forall A_{n} \sub X, n \geqslant 1,\, A \subseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_n \colon \mu^{*}(A) \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty}\mu^{*}(A_{n}).

Нехай \mu — міра, визначена на кільці K. Зовнішньою мірою, породженою мірою \mu, називається функція \mu^{*}\colon 2^{X} \longrightarrow [0,\, +\infty] така, що

  1. \mu^{*}(A) = \inf\bigl\{\sum_{n = 1}^{\infty}\mu(A_{n})\bigr\},\; A_{n} \subset K, n\geqslant 1,\, A \subseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_{n} якщо хоч одне таке покриття множини A існує;
  2. \mu^{*}(A) = +\infty в іншому випадку.

Теорема. Зовнішня міра \mu^{*}, породженна мірою \mu, є зовнішньою мірою.

\vartriangleright Перевіримо пункт перший з означення зовнішньої міри. \mu \geqslant 0 \Rightarrow \mu^{*} \geqslant 0. \mu^{*} визначена на 2^{X}.

\varnothing \in K\colon \mu^{*}(\varnothing) \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty}\mu(\varnothing) = 0 \Rightarrow \mu^{*}(\varnothing) = 0.

Перевіримо другий пункт означення. Нехай A \subset \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_n. Якщо існує така множина A_{n} з покриття, що \mu^{*}(A_{n}) = +\infty, то нерівність справджується. Нехай далі всі множини з покритття такі, що \mu^{*}(A_{n}) < +\infty,\, \forall n \geqslant 1. Візьмемо довільне \varepsilon > 0, за означенням точної нижньої межі

\forall n \geqslant 1\, \exists B_{n_{k}} \in K, k \geqslant 1,\, A_{n} \subseteq \bigcup_{k = 1}^{\infty}B_{n_{k}}\colon \mu^{*}(A_{n}) > \sum_{k = 1}^{\infty}B_{n_{k}} - \frac{\varepsilon}{2^{n}}.

Тоді

\bigcup_{n = 1}^{\infty}\bigcup_{k = 1}^{\infty}B_{n_{k}} \supseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_{n} \supseteq A.

Оскільки \bigcup_{n = 1}^{\infty}\bigcup_{k = 1}^{\infty}B_{n_{k}} є зліченним об'єднанням елементів кільця K, то

\mu^{*}(A) \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty}\sum_{k = 1}^{\infty}\mu(B_{n_{k}}) < \sum_{n = 1}^{\infty}\bigl(\mu^{*}(A_{n}) + \frac{\varepsilon}{2^{n}}\bigr) = \sum_{n = 1}^{\infty}\mu^{*}(A_{n}) + \varepsilon, \varepsilon \longrightarrow 0+. \vartriangleleft

Властивості зовнішньої міри[ред.ред. код]

Властивості зовнішньої міри \mu^{*}:

  • \forall n \geqslant 1,\, A \subseteq \bigcup_{k = 1}^{n}A_{k}\colon \mu^{*}(A) \leqslant \sum_{k = 1}^{n}\mu^{*}(A_{k}).

\vartriangleright Дійсно,

A \subseteq \bigcup_{k = 1}^{n}A_{k} \cup \varnothing \cup \varnothing \cup \cdots \Rightarrow \mu^{*}(A) \leqslant \sum_{k = 1}^{n}\mu^{*}(A_{k}) + \mu^{*}(\varnothing) + \mu^{*}(\varnothing) + \cdots = \sum_{k = 1}^{n}\mu^{*}(A_{k}). \vartriangleleft
  • A \subseteq B \Rightarrow \mu^{*}(A) \leqslant \mu^{*}(B) (монотонність).

\vartriangleright Випливає з попередньої властивості при n = 1. \vartriangleleft

\mu^{*} - вимірні множини[ред.ред. код]

Нехай \mu^{*} — деяка зовнішня міра визначена на підмножинах множини X. Тоді множини E \subset X, такі що для всіх A \subset X виконується рівність:

 \mu^{*}(A) = \mu^{*}(A \cap E) + \mu^{*}(A \cap E^').

називаються \mu^{*} - вимірними. \mu^{*} - вимірні множини утворюють σ-кільце, а функція \mu^{*} визначена на елементах цього σ-кільця є мірою, що називається мірою породженою \mu^{*}. Якщо зовнішня міра \mu^{*} породжена деякою мірою \mu визначеною на кільці K то \overline \mu буде продовженням міри \mu (де \overline \mu визначена вище міра породжена \mu^{*}).

Якщо визначити \overline \mu^* деяка зовнішня міра породжена мірою \overline \mu то \mu^{*} = \overline \mu^* тоді й лише тоді коли сама зовнішня міра \mu^{*} є породжена деякою мірою \mu[1].

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Халмош П.Р. Теория меры ст. 57

Література[ред.ред. код]

  • Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989
  • Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953