Вимірна множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Множина називається вимірною щодо міри μ, якщо вона належить до σ-алгебри на якій визначена μ. Для підмножин евклідового простору, якщо міра не вказана, то вважається, що μ це міра Лебега.[джерело?]

В сенсі Лебега

[ред. | ред. код]

Множина називається вимірною (в сенсі Лебега), якщо для довільного знайдеться така елементарна множина , що:

,

де:

  • зовнішня міра множини. Якщо функція розглядається лише на вимірних множинах, то вона називається мірою Лебега.
  •  — симетрична різниця множин.

Іншими словами, якщо множина вимірна, то її можливо «як завгодно точно наблизити» елементарними множинами.

Властивості

[ред. | ред. код]
  • Сукупність вимірних множин замкнена відносно операцій взяття скінчених або злічених сум та перетинів (тобто, являє собою σ-алгебру).
  • Функція μ σ-адитивна на .
  • Доповнення вимірної множини також вимірна множина.
  • Сума та перетин скінченої кількості вимірних множин також вимірні множини.
  • Різниця та симетрична різниця двох вимірних множин також вимірна множина.
  • Довільна множина зовнішня міра якого дорівнює 0, є вимірним.

Невимірні множини

[ред. | ред. код]

Не всі підмножини Евклідового простору вимірні в сенсі Лебега; прикладами невимірних множин є множина Віталі та невимірні множини, визначені в парадоксі Гаусдорфа, парадоксі Банаха-Тарського.

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]