Квадратичний закон взаємності

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, а точніше в теорії чисел, квадратичний закон взаємності, твердження, що стосується розв'язності квадратичних рівнянь в модульній арифметиці .

Твердження[ред.ред. код]

Елементарне твердження[ред.ред. код]

Нехай маємо два різні прості числа p і q. Тоді квадратичний закон взаємності стверджує, що:

  • Якщо хоча б одне з чисел p і q є рівним 1 за модулем 4, тоді рівняння щодо невідомої x :
має розв'язок тоді й лише тоді коли має розв'язок щодо невідомої y наступне рівняння:
  • Якщо p і q рівні 3 за модулем 4, тоді рівняння щодо невідомої x :
має розв'язок тоді й лише тоді коли рівняння щодо невідомої y :
не має розв'язку.

Твердження за допомогою символу Лежандра[ред.ред. код]

З використанням символу Лежандра, твердження закону може бути записано :

Також існує два доповнення до закону:

    і    

Приклади[ред.ред. код]

Для простих чисел[ред.ред. код]

Нехай p буде рівне 11 а q рівне 19, i тоді (оскільки ). Далі , і оскільки 2 не є квадратичним лишком за модулем 3 маємо: . Тобто одержуємо, що 11 є квадратичним лишком за модулем 19. Це твердження легко можна перевірити:

Загальний випадок[ред.ред. код]

Покажемо що 219 є квадратичним лишком за модулем 383. З властивостей символу Лежандра маємо :

Використання квадратичного закону взаємності дає рівність :

Подальше використання закону та властивостей символу Лежандра приводить до необхідного результату :

Див. також[ред.ред. код]