Символ Лежандра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Символом Лежандра називається мультиплікативна функція, що використовується в теорії чисел. Названа на честь французького математика Адрієна-Марі Лежандра.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай a деяке ціле число і p просте число. Символ Лежандра визначається таким чином:

  • , якщо ділиться на .
  • , якщо є квадратичним лишком за модулем , тобто існує таке ціле , що .
  • , якщо не є квадратичним залишком за модулем .

Властивості[ред.ред. код]

  • Мультиплікативність:
  • Якщо , то
  • перший додатковий закон (англ. first supplementary law)
  • другий додатковий закон (англ. second supplementary law)
Доведення

Нехай , і розглянемо рівнянь

Тут ми обираємо знак так, щоб мати правильний знак результату.

Зараз множимо рівнянь разом. Ліворуч отримуємо . Праворуч, маємо і якісь від'ємні непарні числа. Але зауважимо, що , , і т.д., отже, ці від'ємні числа є іншими парними числами за модулем , але прихованими. Отже права частина становить (кожна двійка парна до одного з членів факторіалу, щоб представити парні числа за модулем ).

Залишилось лише зауважити, що і перенести в ліву частину.

Збираючи все до купи, ми отримуємо , або по скороченні факторіалів . І , отже ми насправді маємо .

  • Якщо - просте число, не рівне , то — частковий випадок квадратичного закону взаємності.
  • Серед чисел рівно половина має символ Лежандра, рівний +1, а інша половина — –1.
  • Символ Лежандра при можна обчислити за формулою:

Приклад обчислення[ред.ред. код]

Подані вище властивості використовуються у наступному типовому прикладі:

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]