Коефіцієнти Клебша — Ґордана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Коефіцієнти Клебша-Гордана)
Перейти до: навігація, пошук

Коефіцієнти Клебша — Ґордана — набір чисел, що виникають у квантовій механіці при описі взаємодії кутових моментів, і позначаються або . З математичної точки зору, коефіцієнти Клебша — Ґордана виникають у теорії представлень (зокрема компактних груп Лі) при розкладі тензорного добутку двох незвідних представлень у пряму суму незвідних представлень, якщо відомі їх кількість та форма. Коефіцієнти названі на честь німецьких математиків Альфреда Клебша (1833–1872) та Пауля Ґордана (1837–1912), які розв'язали аналогічну задачу в теорії інваріантів.

Означення[ред.ред. код]

Вектори стану багатьох квантових систем можна вибрати таким чином, щоб вони були власними функціями квадрата оператора кутового момента і його проекції на певну вісь. Такі вектори стану характеризуються двома квантовими числами j та m, відповідні власні значення:

,

де  — зведена стала Планка.

Систему, що складається із двох незалежних підсистем, кожна з яких має власний кутовий момент, можна характеризувати чотирма квантовими числами: , та , . Вектор стану такої системи можна записати як .

Однак, такий вибір власних векторів стану не єдиний. Квадрат оператора суми операторів кутових моментів

.

комутує з операторами та . Те ж саме стосується проекції оператора сумарного моменту:

.

Тому сумарну систему можна характеризувати чотирма квантовими числами: , , , , де числа без індексів відносяться сумарної системи. Відповідний вектор стану позначається . Нові, сумарні, вектори стану можна подати, як лінійну комбінацію старих, індивідуальних, векторів стану . Коефіцієнти цієї лінійної комбінації називаються коефіцієнтами Клебша — Ґордана:

.

Властивості[ред.ред. код]

Коефіцієнти Клебша — Ґордана відмінні від нуля тільки тоді, коли

.

Крім того, квантове число сумарного орбітального моменту задовольняє умові трикутника:

.

Справедливі умови ортогональності та нормування:

,

де  — символ Кронекера.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К. : Наукова думка, 1992. — 368 с.
  • Давидов О. С. Квантова механіка. — К. : Академперіодика, 2012. — 706 с.
  • Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М. : Наука, 1976. — 664 с.
  • Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров = Gruppentheorie und ihre Anwendungen auf die Quantenmechanik der Atomspektren. — М. : ИЛ, 1961. — 444 с.
  • Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии = Angular Momentum: Understanding Spatial Aspects in Chemistry and Physics. — М. : Мир, 1993. — 352 с.
  • Хамермеш М. Теория групп и её применение к физическим проблемам = Group Theory and Its Application to Physical Problems. — М. : Наука, 1966. — 588 с.