Оператор кутового моменту

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Опера́тор моме́нту кі́лькості ру́ху або кутового моменту — це квантово-механічний аналог класичного поняття моменту кількості руху.

Побудова і означення[ред.ред. код]

Для побудови квантово-механічного оператора кутового моменту частки виходять із класичного виразу

,

де  — радіус вектор частки, а  — її імпульс. При перході до квантової механіки проводять заміну імпульсу на квантовомеханічий оператор імпульсу . Тоді компоненти оператора кількості руху мають наступну форму

,
,
.

Визначені таким чином оператори є ермітовими.

Комутаційні співвідношення[ред.ред. код]

Компоненти оператора кутового моменту задовільняють наступним комутаційним співвідношенням

,
,
.

Оскільки вони не комутують між собою, то згідно із принципом невизначеності не можуть бути виміряні одночасно. Якщо відоме точне значення одного з них, то невизначеність двох інших буде абсолютною.

Власні функції та власні значення[ред.ред. код]

З огляду на некомутативність компонент, вони не мають спільних власних функцій. В сферичній системі координат найпростіший вигляд має компонента , тож здебільшого шукають її власні функції.

Власними функціями компоненти є комплексні експоненти виду , де m — ціле число, яке пробігає значення від до .

.

Власні значення оператора дорівнюють . Число m називається магнітним квантовим числом. Така назва зумовлена тим, що вперше магнітне квантове число ввели для інтерпретації розщеплення спектральних ліній у магнітному полі (Зееманівське розщеплення).

Оператор квадрата кутового моменту[ред.ред. код]

Важливе значення у квантовій механіці посідає оператор квадрата кутового моменту

.

В сферичні системі координат він має вигляд

.

Цей оператор комутує з будь-якою з компонент оператора кутового моменту.

Власні функції та власні значення оператора квадрата кутового моменту[ред.ред. код]

Завдяки комутативності оператора квадрата кутового моменту із , ці два оператори мають спільну систему власних функцій. Квадрат кутового моменту може бути визначеними одночасно із z-вою компонентою.

Власними функціями оператора квадрата кутового моменту є сферичні гармоніки .

Власні значення оператора квадрата кутового моменту дорівнюють , де l — ціле число, яке пробігає значення від нуля до нескінченості. Це квантове число називається орбітальним квантовим числом.

.

Із теорії сферичних гармонік відомо, що магнітне квантове число m за абсолютною величиною не може бути більшим за l. Тому кожному орбітальному квантовому числу l відповідає 2l+1 різних магнітних квантових числа: m = -l, -l+1…l-1, l.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
  • Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. — М. : Мир, 1984. — Т. 1. — 302 с.
  • Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М. : Наука, 1976. — 664 с.
  • Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М. : Мир, 1990. — 720 с.
  • Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л. : Наука, 1975. — 441 с.
  • Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии. — М. : Мир, 1993. — 352 с.