Комірки Бенара

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Комірки Бенара в гравітаційному полі.

Комірки Бенара або Релея — Бенара — упорядковані конвективні осередки у формі циліндричних валів або правильних шестигранних структур в шарі в'язкої рідини з вертикальним градієнтом температури , тобто середовище з рівномірним підігрівом знизу.

Комірки Релея — Бенара є одним з трьох стандартних прикладів самоорганізації, поряд з лазером і реакцією Бєлоусова — Жаботинського.

Керуючим параметром самоорганізації служить градієнт температури. Внаслідок підігріву в спочатку однорідному шарі рідини починається дифузія, внаслідок чого виникають неоднорідності щільності. При подоланні деякого критичного значення градієнту, дифузія не встигає привести до однорідного розподілу температури в об'ємі. Виникають циліндричні вали, що обертаються назустріч один одному (як зчеплені шестерні) [1]. При збільшенні градієнту температури виникає другий критичний перехід. Для прискорення дифузії кожен вал розпадається на два вали меншого розміру. При подальшому збільшенні керуючого параметра вали дробляться і в межі виникає турбулентний хаос, що чітко видно на біфуркаційній діаграмі або дереві Фейгенбаума .

У тонкому шарі при підігріві знизу утворюються комірки правильної гексагональної форми, усередині яких рідина піднімається в центрі й опускається гранями комірки [2]. Така постановка експерименту історично була першою, однак тут насправді спостерігається конвекція Марангоні, що виникає за рахунок дії сил поверхневого натягу і залежності їх від температури рідини.

Аналітичний розв'язок задачі (проблема Релея)[ред.ред. код]

Важливим у задачі про конвекції в плоскому шарі є той факт, що для запису її в наближенні Бусінеска можливо отримати точний аналітичний розв'язок рівнянь гідродинаміки. Правда, простий точний розв'язок вдається знайти лише при абстрактній постановці з двома вільними недеформованими межами шару (як зверху, так і знизу), реалістичніші варіанти таких розв'язків не мають (але для них добре працюють наближені аналітичні методи, наприклад метод Гальоркіна).

Наведемо тут розв'язок задачі [3],[4]. Приймемо, що вісь z спрямована вгору, перпендикулярно до шару, осі x і y паралельні границям. Початок координат зручно вибрати на нижній межі шару. Вихідні рівняння конвекції:


\frac{\partial \vec{v} }{\partial t} + (\vec v \cdot \nabla)\vec v = - \frac{1}{\rho_0} \nabla p + \nu \Delta \vec v - \beta T \vec g,

\frac{\partial T}{\partial t} + \vec v \cdot \nabla T = \chi \Delta T,

\operatorname{div}\; \vec v = 0.

Безрозмірна форма рівнянь конвекції для малих збурень рівноваги, в припущенні експоненціального зростання збурень у часі (т. з. «нормальні» обурення) — \vec v, \theta \sim e^{\lambda t}:


\frac{ \lambda }{Pr} \vec v = - \nabla p + \Delta \vec v + Ra \theta \vec e_z,

\lambda \theta = \Delta \theta + \vec v \cdot \vec e_z,

\operatorname{div} \vec v = 0,

де \vec e_z — одиничний вектор осі z,  Pr, Ra  — відповідно число Прандтля та число Релея, \lambda  — інкремент наростання (швидкість росту) збурень. Після обезрозмірювання змінна z змінюється від 0 до 1. Так звані «нормальні» збурення є частковими розв'язками лінійної системи диференціальних рівнянь, і тому знаходять широке застосування при дослідженні задач у дуже різних областях.

Постановка граничних умов робиться в припущенні, що обидві границі не деформуються, але вільні — при цьому відсутні дотичні напруження в рідині. Граничні умови:

\vec v \cdot \vec e_z = 0, — недеформованість границь.

\sigma_{xz} = \sigma_{yz} = 0, — відсутність дотичних напружень. Оскільки вважаємо, що працюємо з рідиною, для якої справедливо рівняння Нав'є-Стокса, то можемо явно записати вигляд тензора в'язких напруг і отримати граничні умови для компонент швидкості.

\sigma_{ij}=\eta \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} \right) — закон Нав'є,

Приймаючи позначення для компонент швидкості: \vec v = \left\{ u,v,w \right\}, перепишемо граничну умову для дотичних напружень в термінах швидкості:

 \frac{ \partial u}{ \partial z} = 0,
 \frac{ \partial v}{ \partial z} = 0 .

Для збурень температури на границях приймається нульове значення. У результаті, система граничних умов завдання така:

z=0,1:
w=0; \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial v}{\partial z} = 0; \theta = 0

Тепер, припускаючи збурення нормальними по простору —  \vec v, p, \theta \sim e^{\lambda t} e^{i \vec k \cdot \vec r} (тут \vec k  — хвильовий вектор збурення, паралельний площині xy) і замінюючи оператори диференціювання — \Delta = \frac{\partial^2}{\partial z^2} - k^2, \nabla = \left\{ i \vec k; \frac{\partial}{\partial z} \right\}, можемо переписати систему рівнянь конвекції у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь:


\frac{ \lambda }{Pr} \vec v = - \nabla p + \Delta \vec v + Ra \theta \vec e_z,

\lambda \theta = \Delta \theta + w,

\operatorname{div} \vec v = 0.

Взявши подвійний ротор від першого рівняння і спроектувавши його на вісь z, отримаємо остаточну систему рівнянь для збурень:


\frac{\lambda}{Pr} \Delta w = \Delta^2 w + k^2 Ra \theta,

\lambda \theta = \Delta \theta + w.

Виходячи з граничних умов, а також з того, що всі похідні в системі парного порядку, зручно представити рішення у вигляді тригонометричних функцій:

 w = a \sin\; n \pi z,
 \theta = b \sin\; n \pi z,

де n — ціле число. Рішення у вигляді синусів задовольняє одразу всім граничним умовам.

Типова нейтральна крива для задачі конвекції в плоскому шарі

Далі, позначаючи D = n^2 \pi^2 + k^2, і підставляючи передбачуваний вид розв'язку в рівняння, отримаємо лінійну однорідну алгебраїчну систему для a, b. З її визначника можна виразити залежність Ra(\lambda):

Ra(\lambda) = \frac{1}{Pr k^2} \left( D \lambda^2 + D^2 (1 + Pr) \lambda + Pr D^3 \right)

Приймаючи тут \lambda = 0 — границя монотонної стійкості, незростання нормальних збурень — отримаємо формулу для визначення критичного числа Релея n-ої моди збурень:

Ra^* = \frac{(k^2 + n^2 \pi^2)^3}{k^2}.

Найменше число Релея вийде при  n = 1 . Мінімум залежності, як нескладно переконатися, припадає на k = \frac{\pi}{\sqrt{2}} , а мінімальне число Релея дорівнює Ra^* = \frac{27}{4} \pi^4 \approx 657. Згідно з критичним хвильовим числом у шарі виникають структури у вигляді валів ширини \sqrt{2} (у безрозмірних одиницях).

Для задач з іншими варіантами границь критичне число Релея виявляється вищим. Наприклад, для шару з двома твердими межами воно дорівнює 1708 [5], для шару з твердою верхньою та нижньою вільною межами — 1156, змінюються і критичні хвильові числа. Однак якісно картина конвективних валів не змінюється.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа, М.: Мир, 1986 — c. 84, рис. 139—140
  2. Ван Дайк-М. Альбом течій рідини і газу, М.: Світ, 1986 — c. 85, рис. 140—141
  3. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. // М.: Наука, 1972 — § 5
  4. Фрик П. Г. Турбулентность: методы и подходы. Курс лекций, ч.1 // Пермь: Пермский гос. техн. ун-т., 1998 — с. 33-37
  5. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., там же, § 6

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]