Формули векторного аналізу

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Позначення

• оператор набла: $\nabla$
• градієнт скалярного поля: $\nabla \psi =\mathbf {grad} \,\psi$
• дивергенція векторного поля: $\nabla \cdot \mathbf {A} =\mathbf {div} \,\mathbf {A}$
• ротор векторного поля: $\nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {rot} \,\mathbf {A}$
• лапласіан: $\Delta =\nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla$

Лінійність

Для будь-якого числа $\alpha$:

$\ \nabla (\alpha \phi +\psi )=\alpha \nabla \phi +\nabla \psi$	$\ \mathbf {grad} (\alpha \phi +\psi )=\alpha \ \mathbf {grad} \ \phi +\mathbf {grad} \ \psi$
$\ \nabla \cdot (\alpha \mathbf {A} +\mathbf {B} )=\alpha \nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B}$	$\ \mathbf {div} \ (\alpha \mathbf {A} +\mathbf {B} )=\alpha \ \mathbf {div} \ \mathbf {A} +\mathbf {div} \ \mathbf {B}$
$\ \nabla \times (\alpha \mathbf {A} +\mathbf {B} )=\alpha \nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B}$	$\ \mathbf {rot} (\alpha \mathbf {A} +\mathbf {B} )=\alpha \ \mathbf {rot} \ \mathbf {A} +\mathbf {rot} \ \mathbf {B}$

Тотожності з двома $\nabla$ (оператори другого порядку)

$\ \nabla \times (\nabla \psi )=0$	$\ \mathbf {rot} (\mathbf {grad} \ \psi )=0$
$\ \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$	$\ \mathbf {div} \ (\mathbf {rot} \ \mathbf {A} )=0$
$\ \Delta \ \psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi$	$\ \Delta \ \psi =\mathbf {div} \ (\mathbf {grad} \ \psi )$
$\ \nabla \times \nabla \times \mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A}$	$\ \mathbf {rot} \ (\mathbf {rot} \ \mathbf {A} )=\mathbf {grad} \ (\mathbf {div} \ \mathbf {A} )-\Delta \mathbf {A}$

Диференціювання добутку полів

$\nabla \cdot (\psi \mathbf {A} )=\mathbf {A} \cdot \nabla \psi +\psi \nabla \cdot \mathbf {A}$	$\mathbf {div} (\psi \mathbf {A} )=\mathbf {A} \cdot \mathbf {grad} \psi +\psi \ \mathbf {div} \mathbf {A}$
$\nabla \times (\psi \mathbf {A} )=\nabla \psi \times \mathbf {A} +\psi \nabla \times \mathbf {A}$	$\mathbf {rot} (\psi \mathbf {A} )=\mathbf {grad} \psi \times \mathbf {A} +\psi \ \mathbf {rot} \mathbf {A}$
$\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +$ $+\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )$	$\ \mathbf {grad} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +$ $+\mathbf {A} \times \mathbf {rot} \mathbf {B} +\mathbf {B} \times \mathbf {rot} \mathbf {A}$
${\frac {1}{2}}\nabla A^{2}=\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A}$	${\frac {1}{2}}\ \mathbf {grad} A^{2}=\mathbf {A} \times (\mathbf {rot} \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A}$
$\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=\mathbf {B} \cdot \nabla \times \mathbf {A} -\mathbf {A} \cdot \nabla \times \mathbf {B}$	$\mathbf {div} \ (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=\mathbf {B} \cdot \mathbf {rot} \ \mathbf {A} -\mathbf {A} \cdot \mathbf {rot} \ \mathbf {B}$
$\ \nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+$ $\;+(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} -(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B}$	$\ \mathbf {rot} (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=\mathbf {A} \ (\mathbf {div} \ \mathbf {B} )-\mathbf {B} \ (\mathbf {div} \ \mathbf {A} )+$ $\;+(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} -(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B}$

Див. також

• Векторний аналіз
• Теорема Стокса
• Оператор набла в різних системах координат

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)