Користувач:Dotseno Anastasia/Чернетка

Нескоротний дріб в математиці — це дріб у якому чисельник та знаменник цілі числа, які не мають жодного спільного дільника окрім 1 (та -1 для від'ємних чисел). Іншими словами, дріб ^a⁄_b нескоротний, тільки тоді, коли a і b взаємно прості числа, тобто, якщо a і b мають найбільший спільний дільник, який дорівнює 1. У вищій математиці, термін "нескоротний дріб" може також відноситися до раціональних функцій таких, де чисельник та знаменник взаємно прості многочлени. Кожне додатне раціональне число може бути представлено у вигляді тільки одного варіанту нескоротного дробу.

Інколи корисним є еквівалентне визначення: якщо a, b цілі числа,то дріб ^a⁄_b нескоротний тільки в тому випадку, коли не існує іншого еквівалентного дробу ^c⁄_d такого, як |c| < |a| або |d| < |b|, де |a| означає модуль a. (Два дроби ^a⁄_b і ^c⁄_d рівні або еквівалентні тоді й лише тоді, коли ad = bc.)

Наприклад, ¹⁄₄, ⁵⁄₆, та ⁻¹⁰¹⁄₁₀₀ є нескоротними дробами. З іншого боку, ²⁄₄ скоротний дріб, тому, що він дорівнює ¹⁄₂, і чисельник ¹⁄₂ менший за чисельник ²⁄₄.

Якщо дріб — скоротний, то його чисельник та знаменник можна поділити на спільний дільник. Цей дріб може скоротитися до нескоротного, якщо чисельник та знаменник поділені на їх найбільший спільний дільник. З метою знайти найбільший спільний дільник, можна використати алгоритм Евкліда або факторизацію цілих чисел. Алгоритм Евкліда більше вживаний, тому що він дозволяє скоротити дроби з дуже великими чисельниками та знаменниками, які складно розкласти на множники.

Приклади

${\frac {120}{90}}={\frac {12}{9}}={\frac {4}{3}}\,.$

Спершу, обидва числа були поділені на 10, де 10 — це спільний множник 120 та 90. Потім, їх поділили на 3. У кінцевому результаті, ⁴/₃, ми отримали нескоротний дріб, бо 4 та 3 не мають жодного спільного дільника, окрім 1.

Початковий дріб також можна скоротити за одну дію, використовуючи найбільший спільний дільник чисел 90 та 120 — 30 (i.e., gcd(90,120)=30).

${\frac {120}{90}}={\frac {4}{3}}\,.$

Який метод "вручну" швидше, залежить від дробу та як легко ви помітите спільний дільник. У випадку, якщо знаменник та чисельник занадто великі, тоді, щоб шляхом перевірки довести, що вони взаємно прості, у будь-якому випадку потрібен найбільший спільний дільник, для того, щоб запевнитися, що дріб насправді нескоротний.

Унікальність

Кожне раціональне число має унікальний representation as an irreducible fraction with a positive denominator (however ${\tfrac {2}{3}}={\tfrac {-2}{-3}}$ although both are irreducible). Uniqueness is a consequence of the unique prime factorization of integers, since ${\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}$ implies ad = bc and so both sides of the latter must share the same prime factorization, yet $a$ and $b$ share no prime factors so the set of prime factors of $a$ (with multiplicity) is a subset of those of $c$ and vice versa meaning $a=c$ and $b=d$.

Applications

The fact that any rational number has a unique representation as an irreducible fraction is utilized in various proofs of the irrationality of the square root of 2 and of other irrational numbers. For example, one proof notes that if the square root of 2 could be represented as a ratio of integers, then it would have in particular the fully reduced representation ${\tfrac {a}{b}}$ where a and b are the smallest possible; but given that ${\tfrac {a}{b}}$ equals the square root of 2, so does ${\tfrac {2b-a}{a-b}}$ (since cross-multiplying this with ${\tfrac {a}{b}}$ shows that they are equal). Since the latter is a ratio of smaller integers, this is a contradiction, so the premise that the square root of two has a representation as the ratio of two integers is false.

Generalization

The notion of irreducible fraction generalizes to the field of fractions of any unique factorization domain: any element of such a field can be written as a fraction in which denominator and numerator are coprime, by dividing both by their greatest common divisor. This applies notably to rational expressions over a field. The irreducible fraction for a given element is unique up to multiplication of denominator and numerator by the same invertible element. In the case of the rational numbers this means that any number has two irreducible fractions, related by a change of sign of both numerator and denominator; this ambiguity can be removed by requiring the denominator to be positive. In the case of rational functions the denominator could similarly be required to be a monic polynomial.

See also

• Anomalous cancellation, an erroneous arithmetic procedure that produces the correct irreducible fraction by cancelling digits of the original unreduced form
• Diophantine approximation, the approximation of real numbers by rational numbers.

External links

• Weisstein, Eric W. Reduced Fraction(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.