Лагранжіан Дарвіна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Лагранжіан Дарвіна (названий на честь Чарлза Ґалтона Дарвіна, онука відомого біолога) описує взаємодію до порядку

між двома зарядженими частинками у вакуумі та дається виразом:

де вільночастинковий лагранжіан має вигляд:

а лагранжіан взаємодії:

де перший доданок є кулонівською взаємодією:

а другий - дарвінівською:

Тут q1 та q2 є зарядами частинок 1 та 2 відповідно, m1 та m2 - їхніми масами, v1 та v2 - швидкостями; c - швидкість світла, r - вектор між двома частинками, а - одиничний вектор в напрямку r.

Вільний Лагранжіан є розкладом в ряд Тейлора вільного лагранжіану двох релятивістських частинок з точністю до величин другого порядку по v. Доданок з дарвінівською взаємодією відповідає реакції однієї частинки на магнітне поле, що створює друга частинка. Якщо члени вищих порядків по v/c збережені, тоді слід враховувати польові ступені вільності і взаємодія між частинками більше не може розглядатись як миттєва. В такому випадку повинні братись до уваги запізнювальні ефекти.

Дарвінівська взаємодія у вакуумі[ред.ред. код]

Лагранжіан для релятивістської взаємодії частинки з зарядом q, що взаємодіє з електромагнітним полем, має вигляд:

де u - релятивістська швидкість частинки. Перший доданок справа виражає кулонівську взаємодію, другий - дарвінівську. Векторний потенціал в кулонівській калібровці задається рівнянням (в одиницях Ґауса):

Де поперечний потік Jt є вихровим потоком (див.теорему розкладу Гельмгольца), створеним другою частинкою. Дивергенція поперечного потоку нульова.

Потік, що створює друга частинка:

що відповідає перетворенню Фур'є:

Поперечна компонента потоку:

Легко переконатися, що:

що має виконуватись, якщо дивергенція поперечного потоку рівна нулю. Бачимо, що

є компонентою перетворення Фур'є, перпендикулярною до k.

З рівняння для векторного потенціалу, Фур'є-перетворення цього потенціалу:

де зберігся член лише найнижчого порядку по v/c.

Зворотне перетворення Фур'є векторного потенціалу:

де

(див. Інтеграли, поширені в квантовій теорії поля)

Тоді доданок з дарвінівською взаємодією в лагранжіані буде:

де ми знову отримуємо член лише найнижчого порядку по v/c.

Рівняння руху Лагранжа[ред.ред. код]

Рівняння руху для однієї з частинок:

де p1 -- імпульс частинки.

Вільна частинка[ред.ред. код]

Рівняння руху для вільної частинки, в якому не враховується взаємодія між двома частинками:

Частинки, що взаємодіють[ред.ред. код]

Рівняння руху для частинок, що взаємодіють:

Гамільтоніан Дарвіна для двох частинок у вакуумі[ред.ред. код]

Гамільтоніан Дарвіна для двох частинок у вакуумі пов'язаний з лагранжіаном Дарвіна через перетворення Лежандра:

В такому випадку маємо гамільтоніан:

Рівняння руху Гамільтона[ред.ред. код]

Рівняння руху Гамільтона мають вигляд:

та

Це дає:

та

Слід зазначити, що для рівняння Брейта першопочатково використовувались дарвінівський лагранжіан та гамільтоніан. Проте найкраще воно підтверджується в теорії поглинання Вілера-Фейнмана і тепер в квантовій електродинаміці.

Джерела[ред.ред. код]

  • Jackson, John D., Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley, 1998, pp. 596-598