Мінімальна поверхня

Анімація, яка демонструє деформацію гелікоїда в катеноїд

Мінімальна поверхня

У математиці мінімальна поверхня — це поверхня з нульовою середньою кривиною. Вони включають, але не обмежуються, поверхнями мінімальної площі при заданих різних обмеженнях.

Фізична модель поверхні з мінімальною площею може бути зроблена шляхом занурення каркаса в мильний розчин. Утворена мильна плівка є мінімальною поверхнею, границею якої є каркас.

Приклади

Класичні приклади мінімальних поверхонь:

• Площина, тривіальний випадок
• Катеноїд: мінімальна поверхня отримана обертанням ланцюгової лінії навколо осі
• Гелікоїд: поверхня утворена обертанням прямої з постійною швидкістю перпендикулярно до осі і одночасним рухом вздовж осі з постійною швидкістю
• Поверхня Еннепера

Мінімальні поверхні стали зоною інтенсивних математичних і наукових досліджень за останні 15 років, зокрема, в області молекулярної інженерії і матеріалознавства, у зв'язку з очікуванням впровадження нанотехнологій.

Визначення

Якщо взяти вкладену поверхню, або в ширшому сенсі занурену поверхню, яка має фіксовану границю, можливо нескінченну, можна визначити її середню кривину, а мінімальна поверхня така, для якої середня кривина дорівнює нулю.

Термін «мінімальної поверхні» з'явився тому, що ці поверхні спочатку виникли як поверхні, що мінімізують площу поверхні, з урахуванням деяких обмежень, таких, як заданий загальний об'єм або задана границя, але цей термін використовується в цілому.

Визначення мінімальних поверхонь може бути розширене на поверхні з постійною середньої кривиною, яка може не дорівнювати нулю.

Див. також

• Задача Бернштейна
• Мінімальна поверхня обертання

Джерела

• Robert Osserman (1986). A Survey of Minimal Surfaces. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-64998-9. (Introductory text for surfaces in n-dimensions, including n=3; requires strong calculus abilities but no knowledge of differential geometry.)
• Hermann Karcher and Konrad Polthier (1995). Touching Soap Films - An introduction to minimal surfaces. Архів оригіналу за 8 липня 2013. Процитовано 27 грудня 2006. (graphical introduction to minimal surfaces and soap films.)
• Various (2000-). EG-Models. Архів оригіналу за 8 липня 2013. Процитовано 28 вересня 2004. (Online journal with several published models of minimal surfaces)
• Stewart Dickson (1996). Scientific Concretization; Relevance to the Visually Impaired Student. VR in the School, Volume 1, Number 4. Архів оригіналу за 8 липня 2013. Процитовано 15 квітня 2006. (Describes the discovery of Costa's surface)
• Martin Steffens and Christian Teitzel. Grape Minimal Surface Library. Архів оригіналу за 8 липня 2013. Процитовано 27 жовтня 2008. (An collection of minimal surfaces)
• David Hoffman, Jim Hoffman та ін. Scientific Graphics Project. Архів оригіналу за 3 липня 2006. Процитовано 24 квітня 2006. {{cite web}}: Явне використання «та ін.» у: |author= (довідка) (An collection of minimal surfaces with classical and modern examples)
• Jacek Klinowski. Periodic Minimal Surfaces Gallery. Архів оригіналу за 8 липня 2013. Процитовано 2 лютого 2009. (An collection of minimal surfaces with classical and modern examples)

Посилання

• 3D-XplorMath-J Homepage — Java program and applets for interactive mathematical visualisation [Архівовано 13 листопада 2007 у Wayback Machine.]
• Gallery of rotatable minimal surfaces [Архівовано 26 червня 2012 у Wayback Machine.]