Нескінченний добуток

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці, для послідовності чисел нескінченний добуток

визначається, як границя часткових добутків при . Добуток називається збіжним, коли границя існує і не рівна нулю. В іншому випадку добуток називається розбіжним. Випадок, в якому границя рівна нулю, розглядається окремо, для отримання результатів, аналогічних результатам для рядів.

Властивості[ред.ред. код]

Якщо добуток є збіжним, тоді необхідно виконується гранична рівність . Отже логарифм визначений для всіх , за винятком скінченного числа значень, присутність яких не впливає на збіжність. Якщо всі члени послідовності додатні то виконується рівність:

у якому збіжність ряду в правій частині рівносильна збіжності нескінченного добуткуу в лівій. Це дозволяє переформулювати критерій збіжності ряду в критерій збіжності нескінченних добутків. Для добутків, таких, що для будь-якого , позначимо , тоді і , звідки слідує нерівність:

яка показує, що нескінченний добуток збігається тоді і тільки тоді, коли збігається ряд .

У випадку для будь-якого збіжність нескінченного добутку також еквівалентна збіжності ряду . У загальному випадку збіжность рядів і є достатньою умовою збіжності .

Приклади[ред.ред. код]

Найбільш відомі приклади нескінченних добутків, деякі формули для , такі як наступні два нескінченні добутки, доведені відповідно Франсуа Вієтом і Джоном Валлісом

Представлення функції у вигляді нескінченного добутку[ред.ред. код]

Один важливий результат про нескінченні добутки — те, що будь-яка ціла функція , з коренями , де точка 0 — корінь порядку , може бути представлена у вигляді нескінченного добутку виду

,

де — деяка ціла функція, а невід'ємні цілі числа підібрані так, щоб ряд сходився. При відповідна множнику номер експонента опускається (вважається рівною ).

Приклади[ред.ред. код]

Синус

Гамма-функція

Сигма-функція Вейєрштрасса

Дзета-функція Рімана

де pn — послідовність простих чисел.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]