У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Синус (значення).
Синус (лат.sinus — «пазуха») — тригонометрична функціякута. Визначення синусу гострого кута в контексті прямокутного трикутника: для заданого кута, є відношенням довжини катета, що є протилежним даному куту, до довжини найдовшої сторони трикутника (гіпотенузи).
У загальнішому випадку, визначення синуса (та інших тригонометричних функцій) може бути розширене до значення дійсного числа, що належить до довжини певного відрізка в одиничному колі. Більш складні сучасні визначення задають синус як нескінченний ряд або як розв'язок деяких диференційних рівнянь, що дозволяє їх розширення до довільних додатних і від'ємних значень і навіть до комплексних чисел.
Функція синуса зазвичай застосовується в моделюванні періодичних явищ, таких як звукові і світлові хвилі, позиції і швидкості гармонічних коливань, інтенсивності сонячного світла і довжини для, коливань середньої температури в період року.
Функція синус має зв'язок у своєму походженні до функцій джа і коті-джа, що використовувалися в період Гупта в Індійській астрономії (Ар'ябхатія, Сур'я Сіддханта), шляхом перекладу із санскриту на арабську мову, а потім з арабської на латинь[1]. Слово «синус» походить від неправильного перекладу на латину арабського джиба, яке є транслітерацією слова на санскриті, що означало половину хорди, джа-ардха.[2]Таблиця синусів містить числові значення функції синусу.
Для кута α, функція синусу задає відношення довжини протилежного до кута катету до довжини гіпотенузи,
При визначенні тригонометричних функцій для гострого кута α, беруть будь-який прямокутний трикутник який містить кут α; на відповідному малюнку, це геометричний кут A в трикутнику ABC, який має значення α. Три сторони трикутника мають назви:
протилежний катет це сторона протилежна обраному куту, в даному випадку це сторона a.
гіпотенуза це сторона протилежна прямому куту, в даному випадку це сторона h. Гіпотенуза завжди є найдовшою стороною прямокутного трикутника.
прилеглий катет- сторона що залишилась, в даному випадку це сторона b. Це сторона, яка одночасно прилягає до вибраного кута (кут A) і до прямого кута трикутника.
У визначеному трикутнику, синус кута дорівнює довжині протилежного катету поділеному на довжину гіпотенузи (інші тригонометричні функції можуть визначатися аналогічним способом; наприклад, косинус кута є відношенням довжин прилеглого катету до гіпотенузи).
Як уже зазначалося, значення функції sin(α) залежить від вибраного прямокутного трикутника, який містить в собі кут величиною α. Однак, це не є важливим: оскільки всі такі трикутники є подібними, і співвідношення сторін буде однакове в усіх таких трикутниках.
Нехай існує довільна пряма через початок координат, яка утворює кут θ із додатною частиною осі x, і перетинає одиничне коло. x- і y-є координатами точки перетину прямої і кола, які дорівнюють cos θ і sin(θ), відповідно. Відстань від точки до початку координат завжди дорівнює 1.
На відміну від визначення в контексті прямокутного трикутника або кута нахилу, використовуючи одиничне коло значення кута можуть бути розширені до повного набору дійсних аргументів. В такому випадку функція синуса є періодичною.
Одиничне коло є в основі принципу побудови координатного транспортиру. При безперервному обертанні кута навколо своєї осі на 360 градусів можна бачити як координата транспортира зміщується по осі Y від -1 до 1. На осі Y в одиничному колі розміщені значення функції синуса.
Анімація показує як функція синусу (червона) із значень y-координати (червона точка), що змінюється при окреслені точкою одиничного кола (зелена), і значення кута θ задаються радіанах.
оберненим числом для синусу є косеканс, тобто обернене число для sin(A) записується як csc(A), або cosec(A). Косеканс задає відношення довжини гіпотенузу до довжини протилежного катету:
Головні значення функції arcsin(x) зображені на декартовій площині. Arcsin є зворотньою функцією від синусу.
Зворотньою функцією для синусу є арксинус (позначається як arcsin або asin) або обернений синус (sin-1). Оскільки синус не має ін'єктивного відображення, арксинус не є точною зворотньою функцією, а є частковою зворотньою функцією. Наприклад, sin(0) = 0, але також і sin(π) = 0, sin(2π) = 0 і так далі. Звідси випливає, що функція арксинус багатозначна: arcsin(0) = 0, але також і arcsin(0) = π, arcsin(0) = 2π, і т. д.. Коли необхідно мати одне визначене значення, функція може бути обмежена до її головної області значень. Виходячи з цього обмеження, для кожного значення x в усій області значень, вираз arcsin(x) прийматиме лише одне значення, яке називається його головним значенням.
Функції синусу і косинусу можуть бути зв'язані між собою різними виразами. Ці дві функції відрізняються фазою в 90°: = для всіх кутів x. А також, похідною функції sin(x) є cos(x).
Будь-яку тригонометричну функцію можна виразити через інші тригонометричні функції (з урахуванням знаків плюс та мінус у різних чвертях або за допомогою знакової функції (sgn)).
Через інші тригонометричні функції синус можна виразити наступним чином:
f θ
З використанням плюса/мінуса (±)
З використанням функції (sgn)
f θ =
± по чвертям
f θ =
I
II
III
IV
cos
+
+
−
−
+
−
−
+
cot
+
+
−
−
+
−
−
+
tan
+
−
−
+
+
−
−
+
sec
+
−
+
−
+
−
−
+
Всі рівняння, в яких використовуються знаки плюс/мінус (±), мають додатні значення для кутів в першій чверті.
Для аргументів, яких нема в цій таблиці, значення задані із урахуванням, що функція синусу є періодичною із періодом 360° (або 2π радіан): , або .
А також і .
Для доповнення синусу, маємо .