Синус

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, синус це тригонометрична функція кута. Визначення синусу гострого кута в контексті прямокутного трикутника: для заданого кута, є відношенням довжини катета, що є протилежним даному куту, до довжини найдовшої сторони трикутника(гіпотенузи).

В більш загальному випадку, визначення синусу (та інших тригонометричних функцій) може бути розширене до значення дійсного числа, що відноситься до довжини певного відрізка в одиничному колі. Більш складні сучасні визначення задають синус як нескінченний ряд або як розв'язок деяких диференційних рівнянь, що дозволяє їх розширення до довільних додатних і від'ємних значень і навіть до комплексних чисел.

Функція синусу зазвичай застосовується в моделюванні періодичних явищ, таких як звукові і світлові хвилі, позиції і швидкості гармонічних коливань, інтенсивності сонячного світла і довжини для, коливань середньої температури в період року.

Функція синус має зв'язок у своєму походженні до функцій jyā і koṭi-jyā , що використовувалися в період Гупта в Індійській астрономії (англ. Aryabhatiya, Surya Siddhanta), шляхом перекладу із санскриту на арабську мову, а потім з арабської на латинь.[1] Слово "синус" походить від неправильного перекладу на Латинь із арабського jiba, яке є транслітерацією слова на санскриті, що означало половину хорди, jya-ardha.[2]

Визначення в контексті прямокутного трикутника[ред.ред. код]

Для кута α, функція синусу задає відношення довжини протилежного до кута катетудо довжини гіпотенузи,

При визначенні тригонометричних функцій для гострого кута α, беруть будь-який прямокутний трикутник який містить кутα; на відповідному малюнку, це геометричний кут A в трикутнику ABC, який має значення α. Три сторони трикутника мають назви:

  • протилежний катет це сторона протилежна обраному куту, в даному випадку це сторона a.
  • гіпотенуза це сторона протилежна прямому куту, в даному випадку це сторона h. Гіпотенуза завжди є найдовшою стороною прямокутного трикутника.
  • прилеглий катет- сторона що залишилась, в даному випадку це сторона b. Це сторона, яка одночасно прилягає до вибраного кута (кут A) і до прямого кута трикутника.

У визначеному трикутнику, синус кута дорівнює довжині протилежного катету поділеному на довжину гіпотенузи. (Інші тригонометричні функції можуть визначатися аналогічним способом; наприклад, косинус кута є відношенням довжин прилеглого катету до гіпотенузи.)

Як уже зазначалося, значення функції sin(α) залежить від вибраного прямокутного трикутника, який містить в собі кут величиною α. Однак, це не є важливим: оскільки всі такі трикутники є подібними, і співвідношення сторін буде однакове в усіх таких трикутниках.

В контексті одиничного кола[ред.ред. код]

Ілюстрація одиничного кола. Радіус якого дорівнює 1. Змінна t задає значення Кута.

В тригонометрії, одиничне коло це коло з радіусом один і з центром в початку координат (0, 0) декартової системи координат.

Нехай існує довільна пряма через початок координат, яка утворює кут θ із додатною частиною осі x, і перетинає одиничне коло. x- і y-є координатами точки перетину прямої і кола, які дорівнюють cos θ і sin(θ), відповідно. Відстань від точки до початку координат завжди дорівнює 1.

На відміну від визначення в контексті прямокутного трикутника або кута нахилу, використовуючи одиничне коло значення кута можуть бути розширені до повного набору дійсних аргументів. В такому випадку функція синусу є періодичною.

Анімація показує як функція синусу (червона) із значень y-координати (червона точка), що змінюється при окреслені точкою одиничного кола (зелена), і значення кута θ задаються радіанах.

Тотожності[ред.ред. код]

Точні тотожності (застосовуються до радіан):

Застосовуються до всіх значень кута .

Обернені[ред.ред. код]

оберненим числом для синусу є косеканс, тобто обернене число для sin(A) записується як csc(A), або cosec(A). Косеканс задає відношення довжини гіпотенузу до довжини протилежного катету:

Зворотні функції[ред.ред. код]

Головні значення функції arcsin(x) зображені на декартовій площині. Arcsin є зворотньою функцією від синусу.

Зворотньою функцією для синусу є арксинус (позначається як arcsin або asin) або обернений синус (sin-1). Оскільки синус не має ін'єктивного відображення, арксинус не є точною зворотньою функцією, а є частковою зворотньою функцією. Наприклад, sin(0) = 0, але також і sin(π) = 0, sin(2π) = 0 і так далі. Звідси випливає, що функція арксинус багатозначна: arcsin(0) = 0, але також і arcsin(0) = π, arcsin(0) = 2π, і т.д.. Коли необхідно мати одне визначене значення, функція може бути обмежена до її головної області значень. Виходячи з цього обмеження, для кожного значення x в усій області значень, вираз arcsin(x) прийматиме лише одне значення, яке називається його головним значенням.

k є деяким цілим значенням:

або у вигляді одного рівняння:

Arcsin задовольняє рівнянням:

і

Обчислення[ред.ред. код]

Для функції синус:

Похідною є:

Первісною функції є:

C позначає Сталу інтегрування.

Зв'язок із іншими тригонометричними функціями[ред.ред. код]

Функції синусу і косинусу можуть бути зв'язані між собою різними виразами. Ці дві функції відрізняються фазою в 90°: = для всіх кутів x. А також, похідною функції sin(x) є cos(x).

Будь-яку тригонометричну функцію можна виразити через інші тригонометричні функції (з урахуванням знаків плюс та мінус у різних чвертях або за допомогою знакової функції (sgn)).

Через інші тригонометричні функції синус можна виразити наступним чином:

f θ З використанням плюса/мінуса (±) З використанням функції (sgn)
f θ = ± по чвертям f θ =
I II III IV
cos + +
+ +
cot + +
+ +
tan + +
+ +
sec + +
+ +

Всі рівняння, в яких використовуються знаки плюс/мінус (±), мають додатні значення для кутів в першій чверті.

Основний зв'язок між синусом і косинусом може виражатися у вигляді Тригонометричної тотожності Піфагора:

де sin2x означає (sin(x))2.

Властивості пов'язані із чвертями[ред.ред. код]

Чотири чверті Декартової системи координат.

В рамках чотирьох чвертей функція синусу має наступні властивості.

Чверть Градуси Радіани Значення Знак Монотонність Опуклість
1-а чверть зростаюча увігнута
2-а чверть спадна увігнута
3-а чверть спадна опукла
4-а чверть зростаюча опукла

Точки на межах чвертей. k є цілим числом.

Чверті одиничного кола і функції sin x, у Декартовій системі координат.
Градуси Радіани

Радіани Тип точки
Корінь, Точка перегину
Максимум
Корінь, Точка перегину
Мінімум

Для аргументів, яких нема в цій таблиці, значення задані із урахуванням, що функція синусу є періодичною із періодом 360° (або 2π радіан): , або . А також і . Для доповнення синусу, маємо .

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Uta C. Merzbach, Carl B. Boyer (2011), A History of Mathematics, Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons, 3rd ed., p. 189.
  2. Victor J. Katz (2008), A History of Mathematics, Boston: Addison-Wesley, 3rd. ed., p. 253, sidebar 8.1. [1]