Ціла функція

Ціла функція — функція, голоморфна на всій комплексній площині. Вона розкладається в степеневий ряд:

$f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n},\quad a_{n}={\frac {f^{(n)}(z)}{n!}},$$f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n},\quad a_{n}={\frac {f^{(n)}(z)}{n!}},$

що є збіжним у всій площині $\mathbb {C}$$\mathbb {C}$. Прикладами цілих функцій є многочлени, тригонометричні функції, експонента.

Властивості

• Ціла функція, що має на нескінченності полюс, повинна бути многочленом. Таким чином, всі цілі функції, що не є многочленами мають на нескінченності істотно особливу точку. Такі функції називаються трансцендентними цілими функціями.

• Якщо $f(z)\neq 0$$f(z)\neq 0$ усюди, то $f(z)=e^{P(z)}$$f(z)=e^{P(z)}$, де P(z) — ціла функція.

• Якщо функція приймає значення нуль в скінченній множині точок $z_{1},\ldots ,z_{k}$$z_{1},\ldots ,z_{k}$, то:

$f(z)=(z-z_{1})\ldots (z-z_{k})e^{P(z)}$$f(z)=(z-z_{1})\ldots (z-z_{k})e^{P(z)}$

• У загальному випадку, коли у f(z) є нескінченно багато нулів $z_{1},z_{2},\ldots ,$$z_{1},z_{2},\ldots ,$ має місце представлення:

$f(z)=z^{\lambda }e^{P(z)}\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{p_{n}}\right),$$f(z)=z^{\lambda }e^{P(z)}\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{p_{n}}\right),$

де Р(z) є цілою функцією, а $\lambda =0$$\lambda =0$, якщо $f(0)\neq 0$$f(0)\neq 0$ і $\lambda$$\lambda$ рівне кратності нуля z = 0, якщо $f(0)=0$$f(0)=0$.

• Значеннями довільної цілої функції, не рівної константі, є усі комплексні числа за винятком, можливо одного числа (наприклад значеннями експоненти є всі числа крім нуля).

Порядок і тип цілої функції

Нехай $M_{f}(r)=\max _{|z|\leq r}|f(z)|.$$M_{f}(r)=\max _{|z|\leq r}|f(z)|.$

Якщо при великих r величина М_f (r) зростає не швидше $r^{\mu }$$r^{\mu }$, то f(z) — многочлен степеня не більшого $\mu$$\mu$. Відповідно, якщо f(z) не многочлен, то М_f (r) росте швидше будь-якого степеня r. При оцінці зростання М_f (r) в цьому випадку береться як функція порівняння показникова функція.

За визначенням f(z) є цілою функцією скінченного порядку, якщо існує скінченне $\mu$$\mu$ таке, що

$M_{f}(r)<\exp(r^{\mu }),\quad r>r_{0}$$M_{f}(r)<\exp(r^{\mu }),\quad r>r_{0}$

Нижня грань $\rho$$\rho$ множини чисел $\mu$$\mu$, що задовольняють цій умові, називається порядком цілої функції f(z).

Порядок обчислюється за формулою

$\rho =\rho _{f}=\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln \ln M_{f}(r)}{\ln r}}.$$\rho =\rho _{f}=\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln \ln M_{f}(r)}{\ln r}}.$

Якщо f(z) порядку $\rho$$\rho$ задовольняє умові:

$M_{f}(r)<\exp(\alpha r^{\mu }),\quad \alpha <\infty ,\quad r>r_{0}$$M_{f}(r)<\exp(\alpha r^{\mu }),\quad \alpha <\infty ,\quad r>r_{0}$

то кажуть, що f(z) — функція порядку $\rho$$\rho$ і скінченного типу. Нижня грань $\sigma$$\sigma$ множини чисел $\alpha$$\alpha$, що задовольняють вказаній умові, називається типом цілої функції f(z). Він визначається з формули

$\sigma _{f}=\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln M_{f}(r)}{r^{\rho }}}.$$\sigma _{f}=\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln M_{f}(r)}{r^{\rho }}}.$

Серед цілих функцій скінченного типу розрізняють цілі функції нормального типу $(\sigma >0)$$(\sigma >0)$ і мінімального типу $(\sigma =0)$$(\sigma =0)$. Якщо умова при визначенні типу не виконується при будь-якому $\alpha <\infty$$\alpha <\infty$, то ціла функція називається цілою функцією максимального, або нескінченного, типу.

Нулі $z_{1},z_{2},\ldots ,$$z_{1},z_{2},\ldots ,$ цілої функції f(z) порядку $\rho$$\rho$ володіють властивістю:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{|z_{k}|^{\rho +\epsilon }}}<\infty ,\quad \forall \epsilon >0.$$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{|z_{k}|^{\rho +\epsilon }}}<\infty ,\quad \forall \epsilon >0.$

Приклади

• Функції $\exp(z)$$\exp(z)$ і $\sin(z)$$\sin(z)$ з $\cos(z)$$\cos(z)$ мають порядок 1.
• Функція Міттаг-Лефлера $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{\Gamma \left(1+{\frac {n}{\rho }}\right)}}$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{\Gamma \left(1+{\frac {n}{\rho }}\right)}}$ має порядок $\rho$$\rho$.

Властивості

• Порядок і тип цілих функцій задовольняють властивості:
  • $\rho _{f+g}\leq \max(\rho _{f},\rho _{g})$$\rho _{f+g}\leq \max(\rho _{f},\rho _{g})$
  • $\rho _{fg}\leq \max(\rho _{f},\rho _{g})$$\rho _{fg}\leq \max(\rho _{f},\rho _{g})$
  • $\sigma _{f+g}\leq \max(\sigma _{f},\sigma _{g})$$\sigma _{f+g}\leq \max(\sigma _{f},\sigma _{g})$
  • $\sigma _{fg}\leq \sigma _{f}+\sigma _{g}$$\sigma _{fg}\leq \sigma _{f}+\sigma _{g}$

• Нулі $z_{1},z_{2},\ldots ,$$z_{1},z_{2},\ldots ,$ цілої функції f(z) порядку $\rho$$\rho$ володіють властивістю:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{|z_{k}|^{\rho +\epsilon }}}<\infty ,\quad \forall \epsilon >0.$$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{|z_{k}|^{\rho +\epsilon }}}<\infty ,\quad \forall \epsilon >0.$

• Порядок і тип можна визначити через коефіцієнти розкладу функції в ряд:

• • $\rho _{f}=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n\ln n}{\ln 1/|a_{n}|}}.$$\rho _{f}=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n\ln n}{\ln 1/|a_{n}|}}.$
  • $\sigma _{f}={\frac {1}{\rho e}}\limsup _{n\rightarrow \infty }n|a_{n}|^{n/\rho }.$$\sigma _{f}={\frac {1}{\rho e}}\limsup _{n\rightarrow \infty }n|a_{n}|^{n/\rho }.$

Функції багатьох змінних

Функція багатьох змінних f(z₁, z₂, ..., z_n) є цілою функцією, якщо вона є голоморфною для $|z_{k}|<\infty ,~(k=1,\ldots ,n)$$|z_{k}|<\infty ,~(k=1,\ldots ,n)$. Для неї вводяться поняття порядку і типу (спряжених порядків і типів). Простого представлення у виді нескінченного добутку тут одержати не вдається, тому що на відміну від випадку $n=1$$n=1$ нулі f(z) не є ізольованими.

Див. також

• Голоморфна функція
• Мероморфна функція

Література

• Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, 3 изд., М., 1979
• Левин Б. Я., Распределение корней целых функций, М., 1956;
• Ронкин Л. И., Введение в теорию целых функций многих переменных, М., 1971.
• Ralph P. Boas (1954). Entire Functions. Academic Press.