Ціла функція — функція, голоморфна на всій комплексній площині. Вона розкладається в степеневий ряд:

що є збіжним у всій площині
. Прикладами цілих функцій є многочлени, тригонометричні функції, експонента.
- Ціла функція, що має на нескінченності полюс, повинна бути многочленом. Таким чином, всі цілі функції, що не є многочленами мають на нескінченності істотно особливу точку. Такі функції називаються трансцендентними цілими функціями.
- Якщо
усюди, то
, де P(z) — ціла функція.
- Якщо функція приймає значення нуль в скінченній множині точок
, то:

- У загальному випадку, коли у f(z) має нескінченно багато нулів
має місце представлення:

- де Р(z) є цілою функцією, а
, якщо
і
рівне кратності нуля z = 0, якщо
.
- Значеннями довільної цілої функції, не рівної константі, є усі комплексні числа за винятком, можливо одного числа (наприклад значеннями експоненти є всі числа крім нуля).
Нехай
Якщо при великих r величина Мf (r) зростає не швидше
, то f(z) — многочлен степеня не більшого
. Відповідно, якщо f(z) не многочлен, то Мf (r) росте швидше будь-якого степеня r. При оцінці зростання Мf (r) в цьому випадку береться як функція порівняння показникова функція.
За визначенням f(z) є цілою функцією скінченного порядку, якщо існує скінченне
таке, що

Нижня грань
множини чисел
, що задовольняють цій умові, називається порядком цілої функції f(z).
Порядок обчислюється за формулою

Якщо f(z) порядку
задовольняє умові:

то кажуть, що f(z) — функція порядку
і скінченного типу. Нижня грань
множини чисел
, що задовольняють вказаній умові, називається типом цілої функції f(z). Він визначається з формули

Серед цілих функцій скінченного типу розрізняють цілі функції нормального типу
і мінімального типу
. Якщо умова при визначенні типу не виконується при будь-якому
, то ціла функція називається цілою функцією максимального, або нескінченного, типу.
- Функції
і
з
мають порядок 1.
- Функція Міттаг-Лефлера
має порядок
.
- Порядок і тип цілих функцій задовольняють властивості:




- Нулі
цілої функції f(z) порядку
для якої
володіють властивістю:

- Порядок і тип можна визначити через коефіцієнти розкладу функції в ряд:


Функція багатьох змінних f(z1, z2, ..., zn) є цілою функцією, якщо вона є голоморфною для
. Для неї вводяться поняття порядку і типу (спряжених порядків і типів). Простого представлення у виді нескінченного добутку тут одержати не вдається, тому що на відміну від випадку
нулі f(z) не є ізольованими.
- Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, 3 изд., М., 1979
- Левин Б. Я., Распределение корней целых функций, М., 1956;
- Ронкин Л. И., Введение в теорию целых функций многих переменных, М., 1971.
- Ralph P. Boas (1954). Entire Functions. Academic Press.