Норма матриці

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, нормою матриці вважають розширенням терміну векторної норми на матриці.

Нехай в просторі векторів визначена норма вектора . Тоді нормою матриці називають число .

Прямі вирази[ред.ред. код]

В залежності від конкретної норми для векторів можна знайти прямі вирази для норми матриці. Нижче наведені три поширені норми:

  1. . Тоді
  2. . Тоді
  3. . Тоді
    ,
    де власні значення матриці .

Векторні норми[ред.ред. код]

Матрицю розмірності можна трактувати як вектор довжини і застосовувати до нього норму вектора.

Норма Фробеніуса[ред.ред. код]

Виглядає так:

Властивості норми матриці[ред.ред. код]

Хай позначає поле з дійсних чи комплексних чисел. Хай позначає векторний простір, що містить всі матриці з рядків та стовпців з елементами типу .

Якщо позначає норму матриці , тоді для неї виконуються такі властивості:

  • якщо та тоді і тільки тоді, коли
  • та

Крім того, у випадку квадратних матриць, деякі (не всі) норми задовольняють наступну властивість, яка пов'язана з тим, що матриці — це більш ніж вектор:

  • для всіх та з

Множина квадратних матриць з нормою, що задовольняє останню властивість утворює банахову алгебру.

Посилання[ред.ред. код]

  1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы.