Нільпотентний елемент

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нільпотентный елемент або нільпотент — елемент кільця, що задовольняє рівності для деякого натурального . Мінімальне значення , для якого справедлива ця рівність, називається індексом нільпотентності елементу .

Приклади[ред.ред. код]

  • У кільці лишків за модулем , де — деяке просте число, клас лишків числа — нільпотент індексу ,
  • Матриця
є нільпотентом індексу у кільці -матриць.

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо — нільпотентний елемент індексу n, то справедлива рівність:
,
тобто елемент оборотний і обернений до нього елемент записується у вигляді многочлена від .
  • Сума двох нільпотентних елементів, що комутують між собою є нільпотентом.
Нехай деяке кільце, a два комутуючі між собою нільпотентні елементи. Нехай такі, що і . З комутативності і можна використати формулу бінома Ньютона для :
При маємо , тоді і доданки, що відповідають тим індексам рівні нулю. Однак при , одержується . Тобто всі доданки є нульовими і є нільпотентним елементом.
  • Всі нільпотентні елементи комутативного кільця утворюють ідеал , що називається нільрадикалом кільця збіжний з перетином всіх простих ідеалів. Кільце вже не має нільпотентних елементів, відмінних від нуля.
В попередньому пункті доводиться, що нільрадикал є замкнутим щодо операції додавання. Якщо — деякий елемент кільця і — елемент нільрадикалу такий, що , тоді тобто , що доводить твердження. Доведення того, що ніль радикал рівний перетину всіх протих ідеалів дано в статті «Простий ідеал».
  • При інтерпретації комутативного кільця як кільця функцій на просторі його спектрі нільпотентам відповідають функції, тотожно рівні нулю.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K.. An introduction to group rings. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0