Нільпотентний елемент

Нільпотентний елемент або нільпотент — елемент $a$ кільця, що задовольняє рівності $a^{n}=0$ для деякого натурального $n$. Мінімальне значення $n$, для якого справедлива ця рівність, називається індексом нільпотентності елементу $a$.

Приклади

• У кільці лишків за модулем $p^{n}$, де $p$ — деяке просте число, клас лишків числа $p$ — нільпотент індексу $n$,
• Матриця

${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

є нільпотентом індексу $2$ у кільці $2\times 2$-матриць.

Властивості

• Якщо $a$ — нільпотентний елемент індексу n, то справедлива рівність:

$1=(1-a)(1+a+a^{2}+\cdots +a^{n-1})$,

тобто елемент $(1-a)$ оборотний і обернений до нього елемент записується у вигляді многочлена від $a$.

• Сума двох нільпотентних елементів, що комутують між собою є нільпотентом.

Нехай $P$ деяке кільце, a $x,y\in P$ два комутуючі між собою нільпотентні елементи. Нехай $m,n\in \mathbb {N}$ такі, що $x^{m}=0$ і $y^{n}=0$. З комутативності $x$ і $y$ можна використати формулу бінома Ньютона для $(x+y)^{m+n}$:

$(x+y)^{m+n}=\sum _{k=0}^{m+n}{\binom {m+n}{k}}x^{k}y^{m+n-k}.$

При $0\leqslant k<m$ маємо $m+n-k>n$, тоді $y^{m+n-k}=0$ і доданки, що відповідають тим індексам $k$ рівні нулю. Однак при $k\geqslant m$, одержується $x^{k}=0$. Тобто всі доданки є нульовими і $x+y$ є нільпотентним елементом.

• Всі нільпотентні елементи комутативного кільця утворюють ідеал $J$, що називається нільрадикалом кільця збіжний з перетином всіх простих ідеалів. Кільце $A/J\,$ вже не має нільпотентних елементів, відмінних від нуля.

В попередньому пункті доводиться, що нільрадикал є замкнутим щодо операції додавання. Якщо $r\in R$ — деякий елемент кільця і $a\in J$ — елемент нільрадикалу такий, що $a^{n}=0\,$, тоді $(ar)^{n}=a^{n}r^{n}=0\,$ тобто $ar\in J$, що доводить твердження. Доведення того, що нільрадикал рівний перетину всіх протих ідеалів дано в статті «Простий ідеал».

• При інтерпретації комутативного кільця як кільця функцій на просторі його спектрі нільпотентам відповідають функції, тотожно рівні нулю.

Див. також

• Нільпотентний ідеал
• Нільпотентна матриця
• Нільрадикал
• Уніпотентний елемент

Література

• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K.. An introduction to group rings. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0