Перехідні процеси в електричних колах

RC-ланцюг інтегрувального типу

Напруга на конденсаторі в інтегрувальному RC-ланцюзі при подачі східчастого збурення (функція Гевісайда) за нульового початкового заряду на конденсаторі

Перехідні процеси — процеси, що виникають в електричних ланцюгах за різних впливів, що переводять їх зі стаціонарного стану в новий стаціонарний стан, тобто, — при дії різного роду комутаційної апаратури, наприклад, ключів, перемикачів для увімкнення або вимкнення джерела або приймача енергії, при обривах у колі, за коротких замикань окремих ділянок кола тощо.

Наприклад, при підключенні розрядженого конденсатора $C$ до джерела напруги $U_{0}$ через резистор $R$ напруга на конденсаторі змінюється від 0 до $U_{0}$ за законом:

$U_{c}(t)=U_{0}(1-e^{-t/\tau }),$

де $\tau =RC$ — стала часу.

Фізична причина виникнення перехідних процесів у ланцюгах — наявність у них котушок індуктивності та конденсаторів, тобто індуктивних та ємнісних елементів у відповідних схемах заміщення. Пояснюється це тим, що під час комутації (процес замикання або розмикання вимикачів) у колі енергія магнітного та електричного полів цих елементів не може змінюватися стрибком. Іншими словами, конденсатор не може запастися енергією миттєво, а якби міг, то для цього знадобилося б джерело енергії нескінченної потужності.

Стандартні ідеалізовані впливи під час аналізу відгуку математичної моделі кола — це східчаста функція Гевісайда та імпульсна функція Дірака.

Математично перехідний процес у колі описується диференціальним рівнянням :

• неоднорідним (однорідним), якщо схема заміщення ланцюга містить (не містить) джерела ЕРС та струму;
• лінійним (нелінійним) для лінійного (нелінійного) ланцюга.

Час встановлення у новий стаціонарний стан

Перехідні процеси можуть тривати від часток наносекунд до кількох років. Тривалість залежить від конкретного ланцюга. Наприклад, стала часу саморозряду конденсатора з полімерним діелектриком може досягати тисячоліття. Тривалість перебігу перехідного процесу визначає стала часу ланцюга.

Закони (правила) комутації

Перший закон комутації

Струм, що тече через індуктивний елемент $L$ безпосередньо до комутації $i_{L}(0_{-}),$ дорівнює струму, що тече під час комутації, і струму через цей індуктивний елемент безпосередньо після комутації $i_{L}(0_{+}),$ оскільки струм у котушці миттєво змінитися не може:

$i_{L}(0_{-})=i_{L}(0)=i_{L}(0_{+}).$

Другий закон комутації

Напруга на ємнісному елементі $C$ безпосередньо до комутації $u_{C}(0_{-})$ дорівнює напрузі під час комутації, і напрузі на ємнісному елементі безпосередньо після комутації $u_{C}(0_{+}),$ оскільки неможливий стрибок напруги на конденсаторі:

$u_{C}(0_{-})=u_{C}(0)=u_{C}(0_{+}).$

При цьому струм у конденсаторі може змінюватися стрибкоподібно.

Примітка

1. $t=0_{-}$ — час безпосередньо до комутації;
2. $t=0$ — час безпосередньо під час комутації;
3. $t=0_{+}$ — час безпосередньо після комутації.

Початкові значення величин

Початкові значення (умови) — значення струмів і напруг у схемі при $t=0$.

Напруги на індуктивних елементах і резистори, а також струми, що течуть через конденсатори і резистори, можуть змінюватися стрибком, тобто їхні значення після комутації $t=0_{+}$ найчастіше виявляються не рівними їхнім значенням до комутації $t=0_{-}$.

Незалежні початкові значення — це значення струмів, що течуть через індуктивні елементи, і напруги на конденсаторах, відомі з докомутаційного режиму.

Залежні початкові значення — це значення інших струмів і напруг при $t=0_{+}$ у післякомутаційній схемі, що визначаються за незалежними початковими значеннями із законів Кірхгофа.

Методи розрахунку перехідних процесів

• Класичний метод (розв'язання диференціальних рівнянь зі сталими параметрами методами класичної математики).
• Операторний метод (перенесення розрахунку перехідного процесу з галузі функцій дійсної змінної (часу $t$) в галузь функцій комплексної змінної, в якій диференціальні рівняння перетворюються на алгебричні).
• Метод змінних стану (складання та розв'язання системи диференціальних рівнянь першого порядку, розв'язаної відносно похідних. Число змінних станів дорівнює числу незалежних накопичувачів енергії).

Див. також

• Перехідний процес
• Інтеграл Дюамеля
• Час релаксації
• Теоретичні основи електротехніки

Література

• Электротехника: Учеб. для вузов/А. С. Касаткин, М. В. Немцов.— 7-е изд., стер.— М.: Высш. шк., 2003.— 542 с.: ил. ISBN 5-06-003595-6
• Бессонов Л. А. Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях // Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: учебник. — 11-е изд., перераб. и доп. — М. : «Гардарики», 2007. — С. 231, 235—236. — 5000 прим. — ISBN 5-8297-0046-8, ББК 31.21, УДК 621.3.013(078.5).

Посилання

• Перехідні процеси в лінійних електричних ланцюгах. на http://www.ups-info.ru (рос.)