Дельта-функція Дірака

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
схематичне зображення дельта функції як лінії з якої виступає стрілка. Висота стрілки відображає число, яке можна розцінювати як площу під графіком функції.
Дельта функція Дірака як границя (в сенсі границі за розподілом) послідовності гаусівських функцій розподілу as

δ-функція — це узагальнена функція, формально визначається як неперервний лінійний функціонал у просторі диференційовних функцій. δ-функція не є функцією в класичному розумінні.

Введена англійським фізиком Діраком. Дозволяє записати просторову густину фізичної величини (маса, електричний заряд, інтенсивність джерела тепла, сили тощо) зосередженою або прикладеною в одній точці. Наприклад, густина точкової маси m, що знаходиться в точці , евклідового простору , записується за допомогою δ-функції у вигляді .

Означення[ред.ред. код]

δ-функція визначається формальним співвідношенням

для будь-якої неперервної функції .

Властивості[ред.ред. код]

Для дельта-функції однієї змінної справедливі такі рівняння:

  • .
  • .
  • .
  • , де  — нулі функції .

Інтегральне представлення[ред.ред. код]

У багатьох випадках зручним виявляється таке представлення дельта-функції:

Розглянемо інтеграл

,    (1)

який можна інтерпретувати як границю

.    (2)

Відомо, що

.    (3)

Як наслідок з (3) для будь-якого справедлива рівність:

.    (4)

Можна показати, що при необмеженому зростанні виявляються правильними всі властивості дельта-функції і функція (2) прямує до ; це дозволяє зробити висновок, що:

.

Похідна дельта-функції[ред.ред. код]

Фундаментальний вираз, що описує похідну дельта-функції :

.

Підставивши , одержимо вираз:

.

Після перетворення маємо:

.

Оскільки , одержуємо остаточний вираз

.

У загальному вигляді вираз похідної дельта-функції записується так:

.

Для довільної дельта-функції справджуються наступні тотожності:

;
;
.

Перетворення Фур'є[ред.ред. код]

До дельта-функції можна застосувати перетворення Фур'є:

в результаті одержуємо, що спектр δ-функції є константою: .

Доведено, що похідна функції Хевісайда дорівнює дельта-функції. Тобто функція Хевісайда — первісна дельта-функції:

.

Отже, застосувавши перетворення Фур'є до первісної дельта-функції

,

одержимо її образ у вигляді:

.

Представлення в різних координатах і системах відліку[ред.ред. код]

У двовимірному просторі:

;
;
.

У полярних координатах:

.

У тривимірному просторі:

;
.

У циліндричній системі:

.

У сферичній системі відліку:

.

Фізична інтерпретація[ред.ред. код]

Графік функції Хевісайда, похідна від якої — дельта-функція
Графік дельта-функції

Миттєве прискорення[ред.ред. код]

Прикладом застосування дельта-функції Дірака може служити задача про зіткнення двох тіл. Якщо на непорушне тіло налітає інше, то обидва тіла отримують прискорення і змінюють свою швидкість. Як розрахувати прискорення раніше нерухомого тіла? Побудуємо графік швидкості від часу. Графік буде мати вигляд, показаний на верхньому рисунку праворуч. На нижньому рисунку приведений графік дельта-функції з одиничною амплітудою, він відображає миттєвий процес набору швидкості тілом.

Беручи до уваги те, що модель розглядається в евклідовому просторі, можна записати наступне рівняння:

.

Функція Гріна[ред.ред. код]

Розглянемо інші приклади. Дельта-функція застосовується у математичній фізиці при розв'язку задач, У які входять зосереджені величини. В квазікласичному наближенні хвильові функції локалізуються в дельта-функції, а центри їх зосередження рухаються по класичних траєкторіях за рівняннями Ньютона. Через дельта-функцію, також записуєтся функція Гріна лінійного оператора , що діє на узагальнені функції над многовидом в точці . Рівняння має вигляд .

де  — оператор Лапласа.

Важливо відмітити наступну формулу

,

де

 — функція Гріна.

Цей вираз випливає з того, що веде себе подібно до дельта-функції.[1]. Це твердження використовується для доведення того, що вираз для скалярного потенціала:

задовольняє рівнянню Пуасона:

.

Таким чином, дельта-функція є потужним математичним апаратом для опису складних фізичних процесів.

Див. також[ред.ред. код]

Функція Хевісайда

Література[ред.ред. код]

  • Кудрявцев Л. Д. «Краткий курс математического анализа, том 2», ISBN 5-9221-0185-4
  • Кучерук І. М., Горбачук І. Т., Луцик П. П. Загальний курс фізики : навч. посібник у 3-х т. — Київ : Техніка, 2006. — Т. 2 : Електрика і магнетизм.

Примітки[ред.ред. код]