Плюрігармонічна функція

Плюрігармонічна функція — два рази неперервно диференційовна, функція комплексних змінних $f\colon G\subset {\mathbb {C} }^{n}\to {\mathbb {C} }$, така що для будь-якої комплексної прямої $\{a+bz\mid z\in {\mathbb {C} }\}$ функція

$z\mapsto f(a+bz)$

є гармонічною на множині

$\{z\in {\mathbb {C} }\mid a+bz\in G\}$.

Аналогічним означення є і для функцій кількох комплексних змінних зі значенням у множині дійсних чисел.

Для дійснозначних функцій також можна дати еквівалентне означення через часткові похідні. Нехай $f\colon G\subset {\mathbb {C} }^{n}\to {\mathbb {R} }:(z_{1},\ldots ,z_{n})\to f(z_{1},\ldots ,z_{n})$ така функція і $z_{k}=x_{k}+y_{k}i,\;k=1,\ldots ,n$ — запис комплексних змінних через їх дійсні й уявні складові. Функція $f$ є плюрісубгармонічною тоді і тільки тоді, коли вона має неперервні часткові похідні по змінних $x_{k},y_{l}$ до другого порядку включно і задовольняє систему рівнянь:

${\begin{cases}{\partial ^{2}f \over \partial x_{k}\partial x_{l}}+{\partial ^{2}f \over \partial y_{k}\partial y_{l}}=0,\\{\partial ^{2}f \over \partial x_{k}\partial y_{l}}-{\partial ^{2}f \over \partial y_{k}\partial x_{l}}=0,\end{cases}}$

де $k,l=1,\ldots ,n.$

Позначаючи, як звично:

${\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),$

дану систему можна записати у більш зручному виді:

${\partial ^{2}f \over \partial z_{k}\partial {\bar {z}}_{l}}=0,\;\;k,l=1,\ldots ,n.$

Комплекснозначна функція буде плюрігармонічною тоді і тільки тоді, коли її дійсна і уявна частини задовольнятимуть рівнянням вище.

Властивості

• Кожна плюрігармонічна функція є гармонічною функцією. У випадку функцій однієї комплексної змінної правильним є і обернене твердження. Натомість для функцій більш ніж однієї змінної обернене твердження є неправильним. Наприклад дійснозначна функція $f(x_{1}+iy_{1},x_{2}+iy_{2})=x_{1}y_{2}$ є гармонічною в $\mathbb {C} ^{2}$⁣, але вона не є плюрігармонічною оскільки, наприклад, на прямій $(z,iz)$ її значення рівні $f(z,iz)=({\text{Re}}\;z)^{2}$ і $({\text{Re}}\;z)^{2}$ не є гармонічною функцією. Плюрігармонічні функції кількох комплексних змінних також є правильним підкласом кратногармонічних функцій.
• Також плюрігармонічні функції є правильним підкласом плюрісубгармонічних функцій, що для $n>1$ є правильним підкласом субгармонічних функцій.
• Важливість плюрігармонічних функцій у комплексному аналізі кількох змінних пояснюється тим, що для голоморфної функції декількох комплексних змінних її дійсна (і уявна) частини є плюрігармонічними функціями. Плюрігармонічні функції, що є дійсною і уявною частинами голоморфної функції називаються спряженими.
• Навпаки, якщо дано плюрігармонічну функцію $u$ в однозв'язному околі V точки $z_{0}$, то в цьому околі існує голоморфна функція $f=u+iv$, дійсна частина якої дорівнює $u$. Завдання визначення цієї голоморфної функції $g$ зводиться до знаходження спряженої плюрігармонічної функції за формулою

$v(z)=\int _{z_{0}}^{z}\textstyle \sum _{k=1}^{n}\left(-{\partial u \over \partial y_{k}}dx_{k}+{\partial u \over \partial x_{k}}dy_{k}\right)+C,\;\;z\in V.$

Див. також

• Гармонічна функція
• Плюрісубгармонічна функція
• Субгармонічна функція

Література

• Gunning, Robert C. (1990), Introduction to Holomorphic of Several Complex Variables. Vol. 1 Function theory, Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series, Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 0-534-13308-8.
• Krantz, Steven G. (1992), Function Theory of Several Complex Variables, Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series (вид. Second), Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole, с. xvi+557, ISBN 0-534-17088-9, MR 1162310, Zbl 776.32001.