В математиці субгармонічними і супергармонічними функціями називають важливі класи функцій багатьох дійсних змінних, що є узагальненнями гармонічних функцій і мають широке застосування в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, комплексному аналізі, теорії потенціалу.
Нехай
Функція
змінної
називається субгармонічною якщо для неї виконуються умови:
є напівнеперервною зверху в ![{\displaystyle G;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57f0e2433ff1624498378f0166f86c14d5086c0)
- Якщо
— довільна замкнута куля з центром в
і радіусом
що міститься в
і
— дійснозначна неперервна функція визначена на
що є гармонічною в
і для якої
для всіх
на границі
кулі
то також
для всіх ![{\displaystyle x\in B(x_{0},r);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9accf512eb94ab4694ccc9f973d486179bc5a165)
![{\displaystyle \varphi (x)\not \equiv -\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8ca50ba9243b42b57153bd7aff791f0b2288e64)
Другу умову можна записати кількома еквівалентними способами, зважаючи на властивості гармонічних функцій. Зокрема в тих же позначеннях умову можна записати через інтеграл на сфері. Існує як завгодно мале число
таке що
![{\displaystyle u(x_{0})\leqslant I(u;x_{0},r)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x_{0},r)}u\,d\sigma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a883197e85156feb5841e5e3ae74236cd681302)
- де
— об'єм одиничної кулі в ![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d)
Еквівалентно умову можна записати через інтеграл по об'єму кулі:
![{\displaystyle u(x_{0})\leqslant J(u;x_{0},r)={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x_{0},r)}u\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b431468d0fd0b2823278e09e073daa1cdfec435b)
Функція
називається супергармонічною якщо
є субгармонічною функцією.
Якщо
то вона є субгармонічною тоді і тільки тоді коли оператор Лапласа
є невід'ємним.
На комплексній площині функція комплексної змінної називається субгармонічною, якщо вона є субгармонічною функцією двох дійсних змінних (дійсної і уявної частини комплексної змінної). Тоді в позначеннях комплексного аналізу другу умову у визначенні можна записати як:
де коло і обмежений ним круг знаходяться в області визначення функції. Подібно поняття субгармонічних і супергармонічних функцій вводиться і для комплексних просторів вищих порядків.
Нехай M — ріманів многовид і
є напівнеперервною функцією. f називається субгармонічною якщо для кожної відкритої підмножини
і довільної гармонічної функції f1 на U, для якої
на границі множини U, нерівність
виконується всюди на U.
Як і раніше для двічі неперервно диференційовних функцій рівносильною є умова на оператор Лапласа:
.
- Функція є гармонічною тоді і тільки тоді, коли вона є одночасно субгармонічною і супергармонічною.
- Якщо
є субгармонічними функціями в області
і
— додатні дійсні числа, то лінійна комбінація
теж є субгармонічною функцією.
- Верхня межа
скінченної множини субгармонічних функцій
є субгармонічною функцією. Якщо супремум нескінченної множини субгармонічних функцій є напівнеперервною зверху функцією, то він є також субгармонічною функцією.
- Рівномірно збіжна і монотонно спадна послідовності субгармонічних функцій збігаються до субгармонічних функцій.
- Якщо
— субгармонічна функція в
, а
— опукла неспадна функція на області значень функції
в
, або якщо
— гармонічна функція в
, а
— опукла функція в тій же області значень, то
— субгармонічна функція в
. Зокрема, якщо
— субгармонічна функція в
, то
, і
де
є субгармонічними функціями в
; якщо
— гармонічна функція в
, то
— субгармонічна функція в
.
- Максимум субгармонічної функції не може досягатися у внутрішній точці її області визначення, якщо ця функція не є константою.Мінімум функції натомість може досягатися у внутрішній точці. Відповідно для супергармонічних функцій у внутрішніх точках області визначення може досягатися максимум функції але не мінімум.
- Якщо
— субгармонічна функція в області
комплексного простору
і
— голоморфне відображення області
в
, то
є субгармонічною функцією в ![{\displaystyle G'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a085ac47ca21340e15c317458b0428af2fdb8bf3)
- Якщо
— субгармонічна функція у всій площині
, що є обмеженою зверху, то
(в
при
аналогічне твердження не є правильним)
- Якщо
є субгармонічною функцією на кільці
, то визначені вище функції
і
(при
), також
є опуклими, як функції від
при
і
при
.
- Якщо
є субгармонічною функцією на кулі
то
і
є неперервними і неспадними функціями від
(вважається
) і також для ![{\displaystyle 0\leqslant r_{1}\leqslant r_{2}:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/630ca421b6761b2b93872d53a11f9c802f9f500a)
![{\displaystyle u(x_{0})\leqslant J(u;x_{0},r)\leqslant I(u;x_{0},r).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e89cafab823fe8c8faaf53d04a63869eaa0a56e)
- Функції
і
як функції
при фіксованих інших параметрах є субгармонійними функціями у своїх областях визначення і
також є неперервною функцією.
Ньютонів потенціал і логарифмічний потенціал невід'ємних мас, взяті зі знаком мінус, є субгармонічними функціями всюди в просторі
.
З іншого боку, однією з основних в теорії субгармонічних функцій є теорема Ріса про локальне представлення довільної субгармонічної функції у вигляді суми гармонічної функції і взятого зі знаком мінус потенціалу.
Якщо
є субгармонічною функцією в області
просторі
, то для кожної компактної підмножини
справедливим є розклад:
![{\displaystyle u(x)=v(x)-\int _{D}{\frac {d\mu (y)}{|x-y|^{n-2}}},\quad n\geq 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0235dedee26543b64539d964a578081e8fe6cb8b)
і для розмірності 2,
![{\displaystyle u(x)=v(x)+\int _{D}\log |x-y|d\mu (y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/198a04d0663c052c523e162316115f9e060993af)
де
— гармонічна функція,
— міра Бореля в
.
Якщо
є зв'язаною компактною множиною, то також можна здійснити розклад:
![{\displaystyle u(x)=v'(x)-\int _{D}g(x,y)d\mu (y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/613ed960ea5ea64a7e861d331c889b37731c7a08)
де
— найкраща гармонічна мажоранта,
— функція Гріна.
- Πρивалов И. И., Субгармонические функции, М.—Л., 1937;
- Хейман У., Кеннеди П., Субгармонические функции, пер. с англ., М., 1980;
- Rado T., Subharmonic functions, В., 1937;