Часткова похідна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Розділи в Математичному аналізі
Фундаментальна теорема
Границя функції
Неперервність
Теорема Лагранжа

В математиці, часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних — це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.

Часткова похідна функції f за змінною x записується так: fx або ∂f/∂x. Символ часткової похідної  — це заокруглена форма літери d, що використовувалась для запису повної похідної. Позначення було запропоноване Лежандром і стало використовуватись після його представлення в працях Якобі.

Означення[ред.ред. код]

Нехай f — функція, що залежить більш ніж від однієї змінної. Наприклад,

Тут f можна інтерпретувати як родину функцій від однієї змінної при заіндексованій іншій:

Іншими словами, при виборі нового значення x утворюється нова функція fx, котра є функцією від одного дійсного аргументу. Тобто,

Припустимо, що значення x вибрано, покладемо його a, тоді f(x, y) визначає функцію fa, залежну тільки від y: a² + ay + y²:

В цьому виразі, a — константа, а не змінна, отже fa — функція від одного дійсного аргументу — y. Відповідно до означення похідної функції одного аргументу:

Наведену процедуру можна здійснити для довільного вибору a. Узагальнивши всю сім'ю функцій, отримаємо похідну функції f по змінній y:

Тут використовується символ ∂, котрий називають символом часткової похідної.

В загальному випадку, часткову похідну функції f(x1,…,xn) за змінною xi в точці (a1,…,an) записують так:

У цьому різницевому відношенні усі змінні, крім xi, зафіксовані. Іншими словами, різний вибір індексу a приводить до утворення родини функцій як у наведеному прикладі. Цей приклад також показує, що обчислення часткової похідної, в обчислювальному сенсі, простіше, ніж повної похідної.

Важливим прикладом функції кількох змінних є випадок скалярної функції f(x1,…xn) в евклідовому просторі Rn (наприклад, R² або R³). В цьому випадку f має часткову похідну ∂f/∂xj по кожній змінній xj. У точці a ці часткові похідні визначають вектор

Цей вектор називають градієнтом f в точці a. Якщо f диференційовна в кожній точці певної області, то градієнт — векторна функція ∇f, котра в точці a перетворюється у вектор ∇f(a). Відповідно градієнт визначений у векторному полі.

Приклади[ред.ред. код]

Об'єм конусу залежить від висоти та радіусу.

Припустимо V — об'єм конуса; він залежить від висоти h та радіусу r за формулою

часткова похідна об'єму V за радіусом r буде

Вона описує, як змінюється об'єм конуса від зміни радіуса при сталій висоті. Часткова похідна за висотою h

і вона показує, як змінюється об'єм конуса при зміні висоти та сталому радіусі.

Тепер для порівняння знайдемо повні похідні V за змінними r та h. Вони, відповідно, мають вигляд

та

Бачимо, що різниця між повною та частковою похідними полягає у виключенні непрямих залежностей між змінними в останній.

Тепер припустимо, що з певних причин пропорції конуса мають залишитись сталими, і відношення між висотою та радіусом стале: k:

Це дає повну похідну:

Рівняння, що містять часткові похідні, називають рівняннями в часткових похідних, і вони часто використовуються у фізиці, інженерії та інших науках і прикладних дисциплінах.

Нотація[ред.ред. код]

Нехай надалі f — функція, залежна від x, y та z.

Часткові похідні першого порядку мають вигляд:

Часткові похідні другого порядку:

Мішані похідні другого порядку:

Часткові та мішані похідні вищих порядків:

Коли йдеться про функції багатьох змінних, варто звернути увагу на те, що деякі з них можуть залежати від інших, і може виникнути потреба в уточненні змінних, котрі є сталими. У таких дисциплінах, як статистична механіка, часткова похідна функції f за змінною x, при зафіксованих y та z, часто записується так:

Формальне означення та властивості[ред.ред. код]

Як і звичайні похідні, часткова похідна позначається як границя. Нехай U — відкрита підмножина функції Rn та f: UR. Частковою похідною функції f в точці a = (a1, …, an) ∈ U за i-ю змінною xi є

Навіть якщо всі часткові похідні ∂f/∂xi(a) в точці a існують, функція не обов'язково є в ній неперервною. Та якщо всі часткові похідні існують в околі точки a і є в ньому неперервними, то f є диференційовною в цьому околі і повна похідна є неперервною. В такому разі кажуть, що f належить простору функцій C1. Цей факт можна використати для узагальнення в простір векторних функцій (f : URm), по компонентам вибираючи аргумент.

Часткову похідну можна розглядати як іншу функцію на області U і частково диференціювати ще раз. Якщо всі мішані часткові похідні другого порядку неперервні в точці (чи проміжку), кажуть, що f в точці (або на проміжку) належить простору функцій C2; за таких умов часткова похідна може бути замінена за теоремою Клеро:

Джерела[ред.ред. код]