Поліноміальна теорема

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Поліноміальна теорема - це узагальнення бінома Ньютона:

Числа називаються поліноміальними (мультиноміальними) коефіцієнтами. Їх визначено для всіх цілих невід’ємних чисел і таких, що :

.

Біноміальний коефіцієнт для невід’ємних є частковим випадком мультиноміального коефіцієнта (для ), а саме

.


В комбінаторному сенсі мультиноміальний коефіцієнт дорівнює числу впорядкованих розбиттів -елементарної множини на підмножини потужностей .

Альтернативне формулювання[ред.ред. код]

Формулювання теореми можна записати в стислій формі використовуючи мультиіндекси:

де α = (α12,…,αm) and xα = x1α1x2α2xmαm.

Доведення[ред.ред. код]

Це доведення теореми з використанням біному Ньютона і математичної індукції по m.

Спочатку для m = 1, дві сторони рівності рівні x1n так як існує тільки один член k1 = n в сумі.  Для кроку індукції, припустимо що поліноміальна теорема вірна для т

Потім

ідучи за припущенням індукції. Застосовуючи біном до останнього фактору,

який завершує індукцію. Останній крок випливає з цього:

в цьому легко переконатися записавши три коефіцієнти з використанням факторіалів наступним чином:

Властивості[ред.ред. код]

Узагальнений трикутник Паскаля[ред.ред. код]

Можна використовувати поліноміальну теорему для узагальнення трикутника Паскаля або піраміди Паскаля до симплексу Паскаля . Це забезпечує швидкий спосіб створення таблиці підстановки для поліноміальних коефіцієнтів.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. Карнаух Т.О. Комбінаторика