Проекція вектора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Вектор проекції вектора a на ненульовий вектор b (також відомий як компонента вектора) є ортогональною проекцією на пряму лінію, паралельну b. Вектор, паралельний b, визначається як  \mathbf{a}_1 =  a_1\mathbf{\hat b}\,, де a є скаляром (називається скалярною проекцією a на b) та одиничний вектор у напрямку b.

У свою чергу, скалярна проекція визначається як a_1 = |\mathbf{a}|\cos\theta = \mathbf{a}\cdot\mathbf{\hat b} = \mathbf{a}\cdot\frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}\,, де оператор · позначає скалярний добуток, |а| - це довжина, і \theta представляє кут між а і b. Скалярний проекція дорівнює довжині проекції вектора, зі знаком мінус, якщо напрямок проекції протилежно напрямку b.

Вектор проекція а на b іноді позначається ab.

Вектор проекції[ред.ред. код]

Вектор проекції а на b є вектором, величина якого скалярна проекція на b і кут, проти b 0 або 180 градусів.

А саме, визначається як: \mathbf{a}_1 = a_1 \mathbf{\hat b} = (|\mathbf{a}| \cos \theta) \mathbf{\hat b}, де a1 є відповідна скалярна проекція, як визначено вище, і b одиничний вектор з тим же напрямком, що і b:

\mathbf{\hat b} = \frac {\mathbf{b}} {|\mathbf{b}|}\,.

Dot Product.svg

Проекцією вектора a на інший вектор b є вектор, що обчислюється за формулою

\mathrm{proj}_{\mathbf{B}}\,(\mathbf{A}) = \frac {\mathbf A \cdot \mathbf B} {|\mathbf B|^2} {\mathbf B}.

Визначення в термінах а та b[ред.ред. код]

Коли θ невідомо, косинус θ може бути обчислен в термінах а та b
 \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {|\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}|} = \cos \theta \,

Скалярна проекція[ред.ред. код]

До вищезазначеної властивості скалярного добутку, визначенням скалярної проекції стає
a_1 = |\mathbf{a}| \cos \theta = |\mathbf{a}| \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {|\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}|} = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {|\mathbf{b}| }\,

Вектор проекції[ред.ред. код]

Аналогічним чином, визначення вектора проекції а на b стає
\mathbf{a}_1 = a_1 \mathbf{\hat b} = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {|\mathbf{b}| } \frac {\mathbf{b}} {|\mathbf{b}|},
що еквівалентно
\mathbf{a}_1 = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{\hat b}) \mathbf{\hat b}, або
\mathbf{a}_1 = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {|\mathbf{b}|^2}{\mathbf{b}} = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b}}. Остання формула є більш ефективною для обчислювання, ніж перший. Оскільки в кінцевому підсумку з першої формули отримаємо множення скаляра на вектор, в той час як із другої додатково потрібно тільки розподіл на скаляр та скаляр. За визначенням,
\mathbf{a}_2 = \mathbf{a} - \mathbf{a}_1 Отже,
\mathbf{a}_2 = \mathbf{a} - \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b}}.

Властивості[ред.ред. код]

Скалярна проекція

Скалярний проекція a на b є скаляр, який має від'ємний знак, якщо 90 < θ ≤ 180 градусів. Вона збігається з довжиною | C | вектора проекції, якщо кут менше 90 °. Більш точно:

  • a1 = |a1|, якщо 0 ≤ θ ≤ 90 градусів,
  • a1 = −|a1|, якщо 90 < θ ≤ 180 градусів.

Векторна проекція

Вектор проекція а на b вектор a1, який є або нульовим або паралельним b. Більш точно:

  • a1 = 0, якщо θ = 90°,
  • a1 та b мають однаковий напрямок, якщо 0 ≤ θ < 90 градусів,
  • a1 and b мають однаковий напрямок, якщо 90 < θ ≤ 180 градусів.

Уявлення матриці[ред.ред. код]

Ортогональна проекція може бути представлена матрицею проекції. Для проектування вектора на одиничний вектор a = (ax, ay, az), потрібно домножити на проекцію матриці:

 P_a = a a^\mathrm{T} = 
\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} a_x & a_y & a_z \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
a_x^2 & a_x a_y & a_x a_z  \\
a_x a_y & a_y^2 & a_y a_z  \\
a_x a_z & a_y a_z & a_z^2  \\
\end{bmatrix}

Використання[ред.ред. код]

Проекція вектора є важливою операцією в процесі Грама — Шмідта ортогоналізації векторних космічних баз. Також використовується в теоремі про розділяючу гіперплощину.

Узагальнення[ред.ред. код]

Оскільки поняття довжини вектора і кута між векторами може бути узагальненим на будь-якому n-мірному простору, це вірно і для поняття ортогональної проекції вектора, проекції вектора на інший, а також відхилення одного вектора від іншого. У деяких випадках, скалярний добуток збігається з добутком точки. Всякий раз, коли вони не збігаються, то скалярний добуток використовується замість скалярного добутку в формальному визначенні проекції та відхиленні.

Для отримання тривимірного внутрішнього простору, поняття проекції вектора на інший і відхилення вектора від іншого може бути узагальнено на поняття проекції вектора на площину, і відхилення вектора від площини.

Проекція вектора на площині є її ортогональною проекцією на цю площину. Відхилення вектора від площини є її ортогональною проекцією на прямій лінії, ортогональної до цієї площини. Обидва вектора, по-перше, паралельно площині, по-друге ортогонально. Для даного вектора і площини, сума проекції і відхилення дорівнює вихідному вектору.

Так само для  внутрішніх  просторів у більш ніж трьох вимірах, поняття  проекції на вектор  та відхилення від вектора можна узагальнити на поняття проекції на гіперплощину, і відхилення від гіперплощини.

Дивись також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]