Проекція вектора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Вектор проекції вектора a на ненульовий вектор b (також відомий як компонента вектора) є ортогональною проекцією на пряму лінію, паралельну b. Вектор, паралельний b, визначається як

,

де є скаляром (називається скалярною проекцією a на b) та одиничний вектор у напрямку b.

У свою чергу, скалярна проекція визначається як

,

де оператор · позначає скалярний добуток, |а| — це довжина, і представляє кут між а і b. Скалярний проекція дорівнює довжині проекції вектора, зі знаком мінус, якщо напрямок проекції протилежно напрямку b.

Вектор проекція а на b іноді позначається ab.

Вектор проекції[ред.ред. код]

Вектор проекції а на b є вектором, величина якого скалярна проекція на b і кут, проти b 0 або 180 градусів.

А саме, визначається як: , де a1 є відповідна скалярна проекція, як визначено вище, і b одиничний вектор з тим же напрямком, що і b:

.

Dot Product.svg

Проекцією вектора a на інший вектор b є вектор, що обчислюється за формулою

Визначення в термінах а та b[ред.ред. код]

Коли θ невідомо, косинус θ може бути обчислен в термінах а та b

Скалярна проекція[ред.ред. код]

До вищезазначеної властивості скалярного добутку, визначенням скалярної проекції стає

Вектор проекції[ред.ред. код]

Аналогічним чином, визначення вектора проекції а на b стає

що еквівалентно

або[1]

Остання формула є більш ефективною для обчислювання, ніж перша. В кожній з формул потрібно обчислювати скалярний добуток і множити скаляр на вектор, але в першій формулі потрібно додатково обчислювати квадратний корінь та ділити вектор на число.[2], в той час коли в останній потрібно лише розділити скаляр на скаляр.

Відкидання вектору

За визначенням,

Отже,

Властивості[ред.ред. код]

Скалярна проекція

Скалярний проекція a на b є скаляр, який має від'ємний знак, якщо 90 < θ ≤ 180 градусів. Вона збігається з довжиною | C | вектора проекції, якщо кут менше 90 °. Більш точно:

  • a1 = |a1|, якщо 0 ≤ θ ≤ 90 градусів,
  • a1 = −|a1|, якщо 90 < θ ≤ 180 градусів.

Векторна проекція

Вектор проекція а на b вектор a1, який є або нульовим або паралельним b. Більш точно:

  • a1 = 0, якщо θ = 90°,
  • a1 та b мають однаковий напрямок, якщо 0 ≤ θ < 90 градусів,
  • a1 and b мають однаковий напрямок, якщо 90 < θ ≤ 180 градусів.

Уявлення матриці[ред.ред. код]

Ортогональна проекція може бути представлена матрицею проекції. Для проектування вектора на одиничний вектор a = (ax, ay, az), потрібно домножити на проекцію матриці:

Використання[ред.ред. код]

Проекція вектора є важливою операцією в процесі Грама — Шмідта ортогоналізації векторних космічних баз. Також використовується в теоремі про розділяючу гіперплощину.

Узагальнення[ред.ред. код]

Оскільки поняття довжини вектора і кута між векторами може бути узагальненим на будь-якому n-мірному простору, це вірно і для поняття ортогональної проекції вектора, проекції вектора на інший, а також відхилення одного вектора від іншого. У деяких випадках, скалярний добуток збігається з добутком точки. Всякий раз, коли вони не збігаються, то скалярний добуток використовується замість скалярного добутку в формальному визначенні проекції та відхиленні.

Для отримання тривимірного внутрішнього простору, поняття проекції вектора на інший і відхилення вектора від іншого може бути узагальнено на поняття проекції вектора на площину, і відхилення вектора від площини.

Проекція вектора на площині є її ортогональною проекцією на цю площину. Відхилення вектора від площини є її ортогональною проекцією на прямій лінії, ортогональної до цієї площини. Обидва вектора, по-перше, паралельно площині, по-друге ортогонально. Для даного вектора і площини, сума проекції і відхилення дорівнює вихідному вектору.

Так само для  внутрішніх  просторів у більш ніж трьох вимірах, поняття  проекції на вектор  та відхилення від вектора можна узагальнити на поняття проекції на гіперплощину, і відхилення від гіперплощини.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Dot Products and Projections. 
  2. Другий скалярний добуток, квадратний корінь не відображені, але вони потрібні для обчислень; (більш докладно див. у визначенні Норма (математика))

Посилання[ред.ред. код]