Просте число Волла — Суня — Суня

В теорії чисел просте число Волла — Суня — Суня (англ. Wall-Sun-Sun) або просте число Фібоначчі — Віферіха (Fibonacci-Wieferich) — одне з ймовірно існуючих простих чисел певного виду, пов'язаних з числами Фібоначчі.

Визначення

Нехай $p$ просте число. Послідовність чисел Фібоначчі за модулем $p$ утворює періодичну послідовність. Мінімальна довжина періоду цієї послідовності називається періодом Пізано і позначається як $\pi (p)$. Оскільки $F_{0}=0$, звідси випливає, що $p$ ділить $F_{\pi (p)}$. Просте $p$, таке що $p^{2}$ ділить $F_{\pi (p)}$ називається простим Волла — Суня — Суня.

Еквівалентні визначення

Просте число $p\neq 2,5$ називається простим Волла — Суня — Суня, якщо $p^{2}$ ділить число Фібоначчі $F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}$, де символ Лежандра $\left({\tfrac {p}{5}}\right)$ визначається як:

$\left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 2{\pmod {5}}\end{cases}}$

Просте число $p$ називається простим Волла — Суня — Суня, якщо $L_{p}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}$, де $L_{p}$ — $p$-е число Люка.

Існування

Вивчаючи період Пізано, Дональд Волл встановив, що не існує простих чисел Волла — Суня — Суня, менших за 10000.

Існує гіпотеза, що простих чисел Волла — Суня — Суня нескінченно багато, однак станом на серпень 2022 року жодного такого простого числа знайдено не було.

В 2007 році Річард Макінтош (Richard J. McIntosh) та Ерік Ретґер (Eric L. Roettger) показали, що якщо вони існують, то мають бути більші за 2⋅10¹⁴. В 2010 році Франсуа Доре (François G. Dorais) та Домінік Клайв (Dominic Klyve) посунули межу до 9,7⋅10¹⁴. У грудні 2011 року було розпочато пошук простих Волла — Суня — Суня в проєкті PrimeGrid, однак він був зупинений в травні 2017 року. В листопаді 2020 року PrimeGrid розпочав новий проєкт з одночасним пошуком простих Віферіха та Волла — Суня — Суня. Станом на серпень 2022 року PrimeGrid дійшов до межі у 14,4⋅10¹⁸ та продовжує пошук майже простих чисел Волла — Суня — Суня.

Майже прості Волла — Суня — Суня

Просте число $p$, що задовільняє рівнянню $F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv Ap{\pmod {p^{2}}}$ для малих значень $\mid A\mid$, називається майже простим Волла — Суня — Суня. PrimeGrid шукає майже прості за умовою |A| ≤ 1000. Відомо декілька випадків, коли A = ±1 (послідовність A347565 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Історія

Прості числа Волла — Суня — Суня названі на честь Дональда Волла (Donald Dines Wall) і братів близнюків Чжи Хон Суня (Zhi Hong Sun) та Чжи Вей Суня (Zhi Wei Sun), які в 1992 році показали, якщо перша умова великої теореми Ферма не виконується для певного простого $p$, то $p$ має бути простим числом Фібоначчі — Віферіха. Таким чином, до того, як велика теорема Ферма була доведена Ендрю Вайлсом, пошук простих Фібоначчі — Віферіха мав на меті знайти потенційний контрприклад.

Див. також

• Числа Фібоначчі
• Послідовність Люка
• Період Пізано
• Просте число Віферіха