Раціональний кубоїд

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Раціональний кубоїд зі сторонами a, b, c стикаються з діагоналями d, e, f

Раціональний кубоїд[1] (або цілочисельна цеглина, або ідеальний кубоїд) — прямокутний паралелепіпед, у якого всі сім основних величин (три ребра, три лицьових діагоналі і просторова діагональ) є цілими числами. Інакше кажучи, раціональний кубоїд — цілочисельне рішення системи діофантових рівнянь.

Досі невідомо, чи існує такий паралелепіпед. Комп'ютерний перебір показав, що якщо ідеальний кубоїд існує:

  • його найменше ребро має бути більшим за 1010[2]
  • одне з його ребер має бути більшим за 3 × 1012[3]
  • непарне ребро примітивного ідеального кубоїда має бути більшим за 2.5 × 1013[4].

Втім, знайдено безліч «майже цілочисельних» паралелепіпедів, у яких цілочисельними є всі величини, крім однієї:

  • Edge кубоїд — кубоїд, у якого одне з ребер є нецілим числом. Найменший: із ребрами (520, 576, 618849), лицьовими діагоналями (776, 943, 975), просторовою діагоналлю 1105;
  • Face кубоїд — кубоїд, у якого одна з лицьових діагоналей є нецілим числом. Найменший: із ребрами (104, 153, 672), лицьовими діагоналями (185, 680, 474993), просторовою діагоналлю 697;
  • Body кубоїд (паралелепіпед Ейлера, див. нижче) — кубоїд, у якого просторова діагональ є нецілим числом. Найменший: із ребрами (44, 117, 240), лицьовими діагоналями (125, 244, 267), просторовою діагоналлю 73225;
  • Косокутні паралелепіпеди, у яких всі сім величин цілі. При цьому досить одного непрямого кута.

Також досі невідомо, чи існує раціональний прямокутний паралелепіпед у комплексних числах. Втім, знайдено безліч «майже цілочисельних» паралелепіпедів у комплексних числах, у яких цілочисельними є всі величини, крім однієї:

  • Imaginary кубоїд — кубоїд, у якого одне з ребер є комплексним числом. Найменший: із ребрами (3344i, 60, 63), лицьовими діагоналями (16, 25, 87), просторовою діагоналлю 65;
  • Twilight кубоїд — кубоїд, у якого окрім ребра(ер), одна із лицьових діагоналей є комплексним числом. Найменший: із ребрами (60i, 3344, 65), лицьовими діагоналями (16i, 25, 87), просторовою діагоналлю 63;
  • Midnight кубоїд — кубоїд, у якого окрім ребра(ер), лицевої(их) діагоналі(ей), ще й просторова діагональ є комплексним числом. Найменший: із ребрами (60i, 63i, 3344i), лицьовими діагоналями (16i, 25i, 87i), просторова діагональ 65i;

У 2005 році тбіліський студент Лаша Маргішвілі запропонував доведення, що цілочисельний кубоід не існує — однак на 2009 рік робота так і не пройшла перевірку незалежними вченими. [5][6]

У вересні 2017 року проект розподілених обчислень yoyo@home (http://www.rechenkraft.net/yoyo/) розпочав підпроект Perfect Cuboid, що займається пошуком кубоїдів у натуральних числах: Perfect, Edge, Face (повністю), а також деяких видів кубоїдів у комплексних числах (Perfect Complex, Imaginary та Twilight).

Паралелепіпед Ейлера[ред.ред. код]

Прямокутний паралелепіпед, у якого цілочисельні ребра і лицьові діагоналі, називається ейлеровим. Найменший з паралелепіпедів Ейлера — з ребрами (44, 117, 240) та лицьовими діагоналями (125, 244, 267).

Деякі інші маленькі паралелепіпеди Ейлера в форматі: ребра (a, b, c) — лицьові діагоналі (d, e, f):

( 85, 132, 720 ) — ( 157, 725, 732 )
( 140, 480, 693 ) — ( 500, 707, 843 )
( 160, 231, 792 ) — ( 281, 808, 825 )
( 187, 1020, 1584 ) — ( 1037, 1595, 1884 )
( 195, 748, 6336 ) — ( 773, 6339, 6380 )
( 240, 252, 275 ) — ( 348, 365, 373 )
( 429, 880, 2340 ) — ( 979, 2379, 2500 )
( 495, 4888, 8160 ) — ( 4913, 8175, 9512 )
( 528, 5796, 6325 ) — ( 5820, 6347, 8579 )

Ейлер описав два сімейства таких паралелепіпедів (звідси назва). Втім, повного опису всіх паралелепіпедів Ейлера також немає.

Відомі такі вимоги до ейлерового паралелепіпеда (а значить, і до цілочисельної цеглини) [7]:

  • Одне ребро ділиться на 4, друге ділиться на 16, третє непарне (якщо, звичайно, він примітивний — тобто, НСД (a, b, c) = 1).
  • Одне ребро ділиться на 3 і ще одне — на 9.
  • Одне ребро ділиться на 5.
  • Одне ребро ділиться на 11.
  • Одне ребро ділиться на 19.
  • Одне ребро або просторова діагональ діляться на 13.
  • Одне ребро, лицьова або просторова діагональ діляться на 17.
  • Одне ребро, лицьова або просторова діагональ діляться на 29.
  • Одне ребро, лицьова або просторова діагональ діляться на 37.

Додатково:

  • Просторова діагональ примітивного ідеального кубоїда має бути добутком виключно простих n виду n ≡ 1 (mod 4)

Прямокутний паралелепіпед у комплексних числах[ред.ред. код]

Відомі такі властивості прямокутних паралелепіпедів у комплексних числах:

  • Існування будь-якого Face кубоїда тягне за собою існування 2-х різних Imaginary кубоїдів. Наприклад:

Face кубоїд із ребрами (104, 153, 672), лицьовими діагоналями (185, 680, 474993), просторова діагональ 697 тягне за собою:

  1. Imaginary кубоїд із ребрами (104i, 185, 680), лицьовими діагоналями (153, 672, 496625), просторовою діагоналлю 697;
  2. Imaginary кубоїд із ребрами (153i, 185, 672), лицьовими діагоналями (104, 428175, 697), просторовою діагоналлю 680.
  • Існування будь-якого Edge, Face, Body або Imaginary кубоїда тягне за собою існування 3-х різних Twilight кубоїда. Наприклад:

Face кубоїд із ребрами (104, 153, 672), лицьовими діагоналями (185, 680, 474993), просторовою діагоналлю 697 тягне за собою:

  1. Twilight кубоїд із ребрами (153i, 104i, 697), лицьовими діагоналями (185i, 680, 474993), просторовою діагоналлю 672;
  2. Twilight кубоїд із ребрами (672і, 104і, 697), лицьовими діагоналями (680i, 185, 474993), просторовою діагоналлю 153;
  3. Twilight кубоїд із ребрами (672і, 153і, 697), лицьовими діагоналями (474993i, 153, 672), просторовою діагоналлю 104.
  • Існування будь-якого Edge, Face, Body, Imaginary або Twilight кубоїда тягне за собою існування Midnight кубоїда, що утворюється шляхом добутку усіх його величин на уявну одиницю .
  • Існування будь-якого Раціонального кубоїда у натуральних числах тягне за собою існування ще 7 різних Раціональних кубоїдів у комплексних числах (3 Perfect Complex та 4 Perfect Midnight кубоїдів):

Припустимо, що існує Ідеальний кубоїд із ребрами (A, B, С), лицьовими діагоналями (D, E, F) та просторовою діагоналлю G, тоді мають місце також:

  1. Perfect Complex із ребрами (Bi, Ci, G), лицьовими діагоналями (Fi, E, D) та просторовою діагоналлю A;
  2. Perfect Complex із ребрами (Ai, Ci, G), лицьовими діагоналями (Ei, F, D) та просторовою діагоналлю B;
  3. Perfect Complex із ребрами (Bi, Ai, G), лицьовими діагоналями (Di, E, F) та просторовою діагоналлю C;
  4. Perfect Midnight із ребрами (Ai, Bi, Ci), лицьовими діагоналями (Di, Ei, Fi) та просторовою діагоналлю Gi;
  5. Perfect Midnight із ребрами (B, C, Gi), лицьовими діагоналями (F, Ei, Di) та просторовою діагоналлю Ai;
  6. Perfect Midnight із ребрами (A, C, Gi), лицьовими діагоналями (E, Fi, Di) та просторовою діагоналлю Bi;
  7. Perfect Midnight із ребрами (B, A, Gi), лицьовими діагоналями (D, Ei, Fi) та просторовою діагоналлю Ci;

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Perfect Cuboid на сайті Wolfram MathWorld
  2. Randall Rathbun, Perfect Cuboid search to 1e10 completed - none found. NMBRTHRY maillist, November 28, 2010.
  3. Durango Bill. The “Integer Brick” Problem
  4. R Matson, Results of a Computer Search for a Perfect Cuboid, http://unsolvedproblems.org/S58.pdf
  5. Lasha Margishvili "The Diophantine Rectangular Parallelepiped (A Perfect Cuboid)": part 1, part 2
  6. Mu Alpha Theta
  7. Primitive Euler Bricks