Теорема про первісний елемент

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема про первісний елемент — твердження в теорії полів, розділі математики, що дає необхідні і достатні умови для того щоб скінченне розширення було простим.

Твердження теореми[ред.ред. код]

Нехай і довільні поля, і скінченне розширення поля . Розширення є простим тоді і тільки тоді, якщо кількість полів таких що є скінченною.

Доведення[ред.ред. код]

Нехай і поля, і степінь розширення — скінченне число. Припустимо . Оскільки розширення — скінченне, то елемент є алгебраїчним над . Нехай — мінімальний многочлен над . Позначимо поле таке що і — мінімальний многочлен елемента над . Якщо — поле породжене коефіцієнтами многочлена то мінімальним многочленом над теж є і . Згідно з властивостями мінімального многочлена, оскільки , маємо , отже: Оскільки , звідси випливає . Тобто довільне проміжне поле відповідає полю породженому коефіцієнтами деякого дільника многочлена зі старшим коефіцієнтом рівним одиниці. Оскільки многочлен має скінченну кількість таких дільників, існує лише скінченна кількість таких підполів , що містять .

Нехай навпаки існує скінченна кількість таких полів . Якщо є скінченним полем, тоді скінченним є і поле , і всі такі розширення породжуються одним елементом. Припустимо тепер, що (і також ) є нескінченним полем. Нехай - базис над . Тоді . Для доведення достатньо розглянути випадок двох елементів. Загальний випадок тоді одержується за допомогою математичної індукції. Отже візьмемо . Розглянемо множину елементів для . Згідно з припущенням, ця множина є нескінченною, проте існує лише скінченна кількість полів між і ; відповідно деякі два елементи породжують одне розширення поля , наприклад і . Це поле містить

І

Отже взявши , одержуємо

Сепарабельні розширення[ред.ред. код]

Важливим наслідком теореми є факт, що довільне скінченне сепарабельне розширення є простим.

Для несепарабельних розширень, це твердження може не виконуватися. Характеристика таких розширень рівна деякому простому числу p. Розглянемо, наприклад поле K:

Fp(TU),

визначене як поле раціональних функцій із змінними T і U і коефіцієнтами в скінченному полі Fp з p елементами. Нехай L розширення поля, породжене додаванням до K кореня степеня p елементів T і U. Тоді розширення L/K є скінченним розширенням степеня p2, отже такий же степінь має мати мінімальний многочлен первісного елемента. Проте для довільного , елемент αp належить K.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]