Суми Рамануджана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Суми Рамануджана — тригонометричні суми, залежні від двох цілочислових параметрів k і n, виду:

c_k(n)=\sum_h\cos\left(\frac{2\pi nh}{k}\right)=\sum_h\exp\left(\frac{2\pi nhi}{k}\right),

де h<k,\;h\in\mathbb{Z}_0 и (h,\;k)=1.

Властивості[ред.ред. код]

Основною властивістю сум Рамануджана є їх мультиплікативність щодо індексу k, тобто

c_{kk'}(n)=c_k(n)c_{k'}(n),\,

якщо (k,\;k')=1.

Суми c_k(n) можна записати через функцію Мебіуса \mu:

c_k(n)=\sum_{d\setminus(k,\;n)}\mu\left(\frac{k}{d}\right)d.

Суми Рамануджана обмежені при обмежених або k, або n. Так, наприклад c_k(1)=1.

Тригонометричні формули[ред.ред. код]


\begin{align}
c_1(n)& = 
1\\
c_2(n) &=
\cos n\pi\\

c_3(n)&=
2\cos \tfrac23 n\pi\\

c_4(n)&=
2\cos \tfrac12 n\pi\\

c_5(n)&=
2\cos \tfrac25 n\pi + 
2\cos \tfrac45 n\pi\\

c_6(n)&=
2\cos \tfrac13 n\pi \\

c_7(n)&=
2\cos \tfrac27 n\pi + 
2\cos \tfrac47 n\pi + 
2\cos \tfrac67 n\pi \\

c_8(n)&=
2\cos \tfrac14 n\pi + 
2\cos \tfrac34 n\pi \\

c_9(n)&=
2\cos \tfrac29 n\pi + 
2\cos \tfrac49 n\pi + 
2\cos \tfrac89 n\pi \\

c_{10}(n)&=
2\cos \tfrac15 n\pi + 
2\cos \tfrac35 n\pi \\
\end{align}

Застосування сум Рамануджана[ред.ред. код]

Багато мультиплікативних функцій від натурального аргументу можуть бути розкладені в ряди по c_k(n). Вірним є і обернене твердження.

Основні властивості сум дозволяють обчислювати суми вигляду:

\sum_{n=1}^\infty\frac{c_k(qn)}{n^s}f(n),\quad\sum_{k=1}^\infty\frac{c_k(qn)}{k^s}f(k),

де f(n) — мультиплікативна функція qціле число s — в загальному випадку, комплексне.

У простому випадку, можна одержати

\sum_{k=1}^\infty\frac{c_k(qn)}{k^s}=\frac{\sigma_{1-s}(n)}{\zeta(s)},

де \zeta(s)дзета-функція Рімана \sigma_k(n) — сума k-х степенів дільників числа n.

Такі суми тісно пов'язані з особливими рядами деяких адитивних проблем теорії чисел, наприклад, представлення натуральних чисел у вигляді парного числа квадратів.

Література[ред.ред. код]

  1. Ramanujan S. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. — 1918. — v. 22. — p. 259—276.
  2. Hardy G. H. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1920/21. — v. 20. — p. 263—271.
  3. Ramanujan S. Collected papers. — Cambridge, 1927. — p. 137—141.
  4. Volkmann В. Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1974. — Bd 271. — S. 203—213.
  5. Титчмарш, E. К. {{{Заголовок}}}. — ISBN 5114800906.
  6. Левин В. И. Историко-математические исследования. — т. 13. — М.: ВИНИТИ, 1960.