Суми Рамануджана — тригонометричні суми, залежні від двох цілочислових параметрів
і
, виду:
![{\displaystyle c_{k}(n)=\sum _{h}\cos \left({\frac {2\pi nh}{k}}\right)=\sum _{h}\exp \left({\frac {2\pi nhi}{k}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d62437d2d4c587c6248d8df897163ef719163a)
де
и
.
Основною властивістю сум Рамануджана є їх мультиплікативність щодо індексу
, тобто
![{\displaystyle c_{kk'}(n)=c_{k}(n)c_{k'}(n),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb809e043af34d92f9e2a4c67eec7a7d6361c07c)
якщо
.
Суми
можна записати через функцію Мебіуса
:
![{\displaystyle c_{k}(n)=\sum _{d\setminus (k,\;n)}\mu \left({\frac {k}{d}}\right)d.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfc7cf5f5235b7842e16d85caa49e357587f6523)
Суми Рамануджана обмежені при обмежених або
, або
. Так, наприклад
.
![{\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(n)&=1\\c_{2}(n)&=\cos n\pi \\c_{3}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{3}}n\pi \\c_{4}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{2}}n\pi \\c_{5}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{5}}n\pi \\c_{6}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{3}}n\pi \\c_{7}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {6}{7}}n\pi \\c_{8}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{4}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{4}}n\pi \\c_{9}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {8}{9}}n\pi \\c_{10}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{5}}n\pi \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99fbb4a5f86d680be94e3a7f207922f2bf2aecda)
Багато мультиплікативних функцій від натурального аргументу можуть бути розкладені в ряди по
. Вірним є і обернене твердження.
Основні властивості сум дозволяють обчислювати суми вигляду:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{n^{s}}}f(n),\quad \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s}}}f(k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f6efdf612a4a79bf49c4413d83a76ec464362a)
де
— мультиплікативна функція
— ціле число
— в загальному випадку, комплексне.
У простому випадку, можна одержати
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s}}}={\frac {\sigma _{1-s}(n)}{\zeta (s)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70d6589c9864c30cff2fed9068d4931c96670e14)
де
— дзета-функція Рімана
— сума
-х степенів дільників числа
.
Такі суми тісно пов'язані з особливими рядами деяких адитивних проблем теорії чисел, наприклад, представлення натуральних чисел у вигляді парного числа квадратів.
- Ramanujan S. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. — 1918. — v. 22. — p. 259—276.
- Hardy G. H. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1920/21. — v. 20. — p. 263—271.
- Ramanujan S. Collected papers. — Cambridge, 1927. — p. 137—141.
- Volkmann В. Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1974. — Bd 271. — S. 203—213.
- Титчмарш, E. К. Теория дзета-функции Римана. — Череповец : Меркурий-Пресс, 2000. — 407 с. — ISBN 5114800906..
- Левин В. И. Историко-математические исследования. — т. 13. — М.: ВИНИТИ, 1960.