Функція Мебіуса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Функція Мебіуса мультиплікативна функція, яку застосовують у теорії чисел і комбінаториці, названа на честь німецького математика Мебіуса, який вперше розглянув її у 1831 р.


Означення[ред.ред. код]

визначена на множині всіх натуральних чисел і набуває значення в залежності від вигляду розкладання числа на прості множники:

  • , якщо ;
  • , якщо ділиться на квадрат простого числа;
  • , якщо канонічний розклад має вигляд , де прості множники різні.

Властивості й застосування[ред.ред. код]

Функція Мебіуса мультиплікативна: для довільних взаємно простих чисел і виконується рівність

Сума значень функції Мебіуса по всім дільникам цілого числа дорівнює нулю:

Звідси, зокрема, випливає, що для довільної непорожньої скінченної множини кількість різних підмножин, які містять непарне число елементів, дорівнює кількості різних підмножин, які містять парне число елементів — факт, який застосовується у формулі обертання Мебіуса.

Функція Мебіуса пов'язана з функцією Ейлера таким співвідношенням:

де в правій частині перераховуються всі дільники числа .

Обертання Мебіуса[ред.ред. код]

Перша формула обертання Мебіуса[ред.ред. код]

Для арифметичних функцій і ,

тоді і тільки тоді, коли

.

Цю рівність також називають принципом обертання Дедекінда-Ліувілля на честь німецького математики Ріхарда Дедекінда (1831-1916) та французького математика Жозефа Ліувілля (1809-1882).

Друга формула обертання Мебіуса[ред.ред. код]

Для дійснозначних функцій і , визначених при ,

тоді і тільки тоді, коли

.