Схема Бернуллі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Проводяться n дослідів, у кожному з яких може настати певна подія («успіх») з ймовірністю p (або не настати — «неуспіх» — q = 1 — p). Задача — знайти ймовірність отримати m успіхів у досліді.

Розв'язок:

Кількість успіхів — випадкова величина, що має розподіл Бернуллі.

Означення[ред. | ред. код]

Тепер розглянемо цю задачу трохи детальніше. Візьмемо найпростіший стохастичний експеримент з двоелементним простором елементарних подій. Одну назвемо «успіхом», позначимо «1», іншу — «невдачею» («неуспіхом»), позначимо «0».

Нехай ймовірність успіху 0<p<1, тоді ймовірність невдачі 1-p=q.

Розглянемо новий стохастичний експеримент, який полягає у n-кратному повторенні цього найпростішого стохастичного експерименту.

Зрозуміло, що простір елементарних подій Ω, що відповідає цьому новому стохастичному експерименту буде (1), . За σ-алгебру подій візьмемо булеан простору елементарних подій (2). Кожній елементарній події поставимо у відповідність число . Тобто, якщо в елементарній події ω успіх спостерігався k раз, а неуспіх n-k раз, то . Нехай , тоді . Також очевидною є нормованість ймовірності: .

Отже, поставивши у відповідність кожній події числове значення (3), ми задаємо ймовірність . Побудований простір , де Ω — простір елементарних подій, визначений рівністю (1), — σ-алгебра, визначена рівністю (2), P — ймовірність, визначена рівністю (3), називається схемою Бернуллі для n випробувань.

Набір чисел називається біноміальним розподілом.

Розширене означення[ред. | ред. код]

Звичайна формула Бернуллі застосовується у випадку, коли при кожному випробуванні є можливою одна із двох подій. Формулу Бернуллі можна узагальнити на випадок, коли при кожному випробуванні виникає одна і тільки одна із подій з ймовірністю , де . Ймовірність з'явлення раз першої подій і — другої і раз k-ої знаходиться за формулою

,

де

Властивості[ред. | ред. код]

Нехай p — ймовірність успіху в схемі Бернуллі, q=1-p.Тоді найімовірнішою серед подій є подія , де можна знайти з нерівності .

Теореми[ред. | ред. код]

Для схеми Бернуллі виконуються теорема Пуассона, локальна теорема Муавра-Лапласа, інтегральна теорема Муавра-Лапласа.

Посилання[ред. | ред. код]