Схема Бернуллі
Проводяться n дослідів, у кожному з яких може настати певна подія («успіх») з ймовірністю p (або не настати — «неуспіх» — q = 1 — p). Задача — знайти ймовірність отримати m успіхів у досліді.
Розв'язок:
Кількість успіхів — випадкова величина, що має розподіл Бернуллі.
Означення[ред. | ред. код]
Тепер розглянемо цю задачу трохи детальніше. Візьмемо найпростіший стохастичний експеримент з двоелементним простором елементарних подій. Одну назвемо «успіхом», позначимо «1», іншу — «невдачею» («неуспіхом»), позначимо «0».
Нехай ймовірність успіху 0<p<1, тоді ймовірність невдачі 1-p=q.
Розглянемо новий стохастичний експеримент, який полягає у n-кратному повторенні цього найпростішого стохастичного експерименту.
Зрозуміло, що простір елементарних подій Ω, що відповідає цьому новому стохастичному експерименту буде (1), . За σ-алгебру подій візьмемо булеан простору елементарних подій (2). Кожній елементарній події поставимо у відповідність число . Тобто, якщо в елементарній події ω успіх спостерігався k раз, а неуспіх n-k раз, то . Нехай , тоді . Також очевидною є нормованість ймовірності: .
Отже, поставивши у відповідність кожній події числове значення (3), ми задаємо ймовірність . Побудований простір , де Ω — простір елементарних подій, визначений рівністю (1), — σ-алгебра, визначена рівністю (2), P — ймовірність, визначена рівністю (3), називається схемою Бернуллі для n випробувань.
Набір чисел називається біноміальним розподілом.
Розширене означення[ред. | ред. код]
Звичайна формула Бернуллі застосовується у випадку, коли при кожному випробуванні є можливою одна із двох подій. Формулу Бернуллі можна узагальнити на випадок, коли при кожному випробуванні виникає одна і тільки одна із подій з ймовірністю , де . Ймовірність з'явлення раз першої подій і — другої і раз k-ої знаходиться за формулою
- ,
де
Властивості[ред. | ред. код]
Нехай p — ймовірність успіху в схемі Бернуллі, q=1-p.Тоді найімовірнішою серед подій є подія , де можна знайти з нерівності .
Теореми[ред. | ред. код]
Для схеми Бернуллі виконуються теорема Пуассона, локальна теорема Муавра-Лапласа, інтегральна теорема Муавра-Лапласа.
Посилання[ред. | ред. код]
- Онлайн-розв'язувач задачі[недоступне посилання з липень 2019]