Схема Бернуллі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Проводяться дослідів, у кожному з яких може відбутися певна подія («успіх») з імовірністю (або не відбутися — «невдача» — з імовірністю ). Завдання — знайти ймовірність отримання рівно успіхів у цих дослідах.

Розв'язок:

(формула Бернуллі).

Кількість успіхів — випадкова величина, яка має біноміальний розподіл.

Визначення[ред. | ред. код]

Для застосування схеми Бернуллі мають виконуватись такі умови:

  • Кожне випробування має рівно два результати, умовно звані успіхом і невдачею.
  • Незалежність випробувань: результат чергового експерименту не повинен залежати від результатів попередніх експериментів.
  • Ймовірність успіху повинна бути сталою (фіксованою) для всіх випробувань.

Розглянемо стохастичний експеримент з двоелементним простором елементарних подій. Одну назвемо «успіхом», позначимо «1», іншу — «невдачею», позначимо «0». Нехай імовірність успіху , тоді ймовірність невдачі .

Розглянемо новий стохастичний експеримент, який полягає в -разовому повторенні цього найпростішого стохастичного експерименту.

Зрозуміло, що простір елементарних подій , який відповідає цьому новому стохастичному експерименту буде (1), . За -алгебру подій візьмемо булеан простору елементарних подій (2). Кожній елементарній події поставимо у відповідність число . Якщо в елементарній події успіх спостерігається разів, а невдача — разів, то . Нехай , тоді . Також є очевидною нормованість імовірності: .

Поставивши у відповідність кожній події числове значення (3), ми знайдемо ймовірність . Побудований простір , де  — простір елементарних подій, визначений рівністю (1),  — -алгебра, визначена рівністю (2), P — імовірність, визначена рівністю (3), називається схемою Бернуллі для випробувань.

Набір чисел називається біноміальним розподілом.

Узагальнення (поліноміальна схема)[ред. | ред. код]

Звичайна формула Бернуллі застосовна на випадок, коли за кожного випробування можлива одна з двох подій. Формулу Бернуллі можна узагальнити на випадок, коли за кожного випробування відбувається одна і тільки одна з подій з імовірністю , де . Ймовірність появи разів першої події,  — другої і раз k-ї знайдемо за формулою:

,

де

Теореми[ред. | ред. код]

В особливих умовах (за досить великих чи досить малих параметрів) для схеми Бернуллі використовують наближені формули з граничних теорем: теорема Пуассона, локальна теорема Муавра — Лапласа, інтегральна теорема Муавра — Лапласа.

Посилання[ред. | ред. код]