Схема Бернуллі

Проводяться n дослідів, у кожному з яких може настати певна подія («успіх») з імовірністю p (або не настати — «неуспіх» — q = 1 – p). Задача — знайти ймовірність отримати m успіхів у досліді.

Розв'язок:

$P_{n}(m)=C_{n}^{m}p^{m}(1-p)^{n-m}$

Кількість успіхів — випадкова величина, що має розподіл Бернуллі.

Означення

Тепер розглянемо цю задачу детальніше. Візьмемо найпростіший стохастичний експеримент із двоелементним простором елементарних подій. Одну назвемо «успіхом», позначимо «1», іншу — «невдачею» («неуспіхом»), позначимо «0».

Нехай ймовірність успіху 0 < p < 1, тоді ймовірність невдачі 1 – p = q.

Розглянемо новий стохастичний експеримент, який полягає у n-кратному повторенні цього найпростішого стохастичного експерименту.

Зрозуміло, що простір елементарних подій Ω, що відповідає цьому новому стохастичному експерименту буде $\left\{\Omega =(a_{1},...,a_{n})|a_{i}={\overline {0,1}},i={\overline {1,n}}\right\rbrace$ (1), $N(\Omega )=2^{n}$. За σ-алгебру подій ${\mathcal {A}}$ візьмемо булеан простору елементарних подій $P(\Omega )$ (2). Кожній елементарній події $\omega \in \Omega$ поставимо у відповідність число $p(\omega )=p^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}q^{n-\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$. Тобто, якщо в елементарній події ω успіх спостерігався k разів, а неуспіх n – k раз, то $p(\omega )=p^{k}q^{n-k}$. Нехай $A_{k}=\{\omega \in \Omega |\sum _{i=1}^{n}a_{i}=k\},k={\overline {0,n}}$, тоді $P(A_{k})=\sum _{\omega \in A_{k}}P(\omega )=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}$. Також очевидною є нормованість ймовірності: $\sum _{\omega \in \Omega }P(\omega )=\sum _{k=0}^{n}\sum _{\omega \in A_{k}}P(\omega )=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}=(p+q)^{n}=1^{n}=1$.

Отже, поставивши у відповідність кожній події $A\in {\mathcal {A}}$ числове значення $P(A)=\sum _{\omega \in A}P(\omega )$ (3), ми задаємо ймовірність $P:{\mathcal {A}}\to \mathbb {R}$. Побудований простір $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$, де Ω — простір елементарних подій, визначений рівністю (1), ${\mathcal {A}}$ — σ-алгебра, визначена рівністю (2), P — ймовірність, визначена рівністю (3), називається схемою Бернуллі для n випробувань.

Набір чисел $P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k},k={\overline {0,n}},n\in \mathbb {N}$ називається біноміальним розподілом.

Розширене означення

Звичайна формула Бернуллі застосовується у випадку, коли при кожному випробуванні є можливою одна із двох подій. Формулу Бернуллі можна узагальнити на випадок, коли при кожному випробуванні виникає одна і тільки одна із $k>2$ подій з ймовірністю $p_{i}(i=1,2,...,k)$, де $p_{i}+...+p_{k}=1$. Ймовірність з'явлення $m_{1}$ раз першої подій і $m_{2}$ — другої і $m_{k}$ раз k-ї знаходиться за формулою

$P_{n}(m_{1},m_{2},...,m_{k})={\frac {n!}{m_{1}!m_{2}!...m_{k}!}}{p_{1}}^{m_{1}}{p_{2}}^{m_{2}}...{p_{k}}^{m_{k}}$,

де $n=m_{1}+m_{2}+...+m_{k}.$

Властивості

Нехай p — ймовірність успіху в схемі Бернуллі, q = 1 – p.Тоді найімовірнішою серед подій $A_{k},k={\overline {0,n}},n\in \mathbb {N}$ є подія $A_{k_{0}}$, де $k_{0}$ можна знайти з нерівності $np-q\leq k_{0}\leq np+p$.

Теореми

Для схеми Бернуллі виконуються теорема Пуассона, локальна теорема Муавра — Лапласа, інтегральна теорема Муавра — Лапласа.

Посилання

• Онлайн-розв'язувач задачі^{[недоступне посилання з липень 2019]}