Теорія відновлення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорія відновлення  — це галузь теорії ймовірностей, що узагальнює процеси Пуассона для довільних проміжків часу. Серед застосувань теорії є наприклад розрахунок середнього часу потраченого мавпою, яка випадково натискає на клавіатуру, до введення нею слова "Макбет" і порівняння довгострокових переваг різних страхових полісів.

Процеси відновлення[ред.ред. код]

Вступ[ред.ред. код]

Процес відновлення є узагальненням процесу Пуассона. По суті, процес Пуассона, це неперервний в часі Марківський процес на множині натуральних чисел (звичайно починаючи з нуля), який має незалежні однаково розподілені терміни перебування в кожному цілому ί (терміни перебування мають експоненціальний розподіл), до переходу (з ймовірністю 1) до наступного цілого числа ί+1. Таким же неформальним чином ми можемо визначити процес відновлення, який буде визначатися ідентично, за винятком того, що проміжки часу беруться на більш загальних розподілах.

Формальне визначення[ред.ред. код]

Допустимо, що це послідовність незалежно однаково розподіленими величинами таких, що . Ми посилаємося на випадкову величину як «i-й» проміжок часу. Введемо для кожного n > 0 Величини називаються " n–м " моментами стрибків а інтервали називаються інтервалами відновлення. Тоді випадкова величина , яка задається (Де  — характеристична функція), показує кількість стрибків, які відбулися до часу t, і називається процес відновлення.

Інтерпретація[ред.ред. код]

Будемо вважати, що відрізок часу це час, який минув до моменту коли машина зазнає поломки в «ί-й» раз, відтоді як вона останній раз ламалась. (Зазначимо, що при цьому передбачається, що машина миттєво відновлюється і відразу ж перезапускається таймер). Відповідно до цієї інтерпретації,часи стрибків містять дані про послідовні моменти, коли машина ламалась, а процес відновлення містить кількість разів, які машина мала бути відремонтована до цього часу в кожний момент часу t. Проте, корисно розуміти процес відновлення в його абстрактній формі, так як він може бути використаний для моделювання великого числа практичних ситуацій.

Процеси відновлення-винагороди[ред.ред. код]

Нехай — деяка послідовність незалежних однаково-розподілених випадкових величин (винагороди), яка задовольняє . Тоді випадкова величина називається процесом відновленням-винагороди. На відміну від , кожна може набувати як додатних так і від'ємних значень. Випадкова величина залежить від двох послідовностей: проміжків часу і винагороди . Ці дві послідовності не обов'язково незалежні. Зокрема, може бути функцією від .

Інтерпретація[ред.ред. код]

У контексті вище зазначеної інтерпретації проміжків часу, як термінів між послідовними несправностями машини, «винагороди» … (які в даному випадку є від'ємними) можна розглядати як послідовні витрати на ремонт, після послідовних несправностей. Можна також розглядати чарівну гуску, що відкладає яйця з інтервалами, розподіленими як . Іноді вона несе золоті яйця випадкової ваги, а іноді вона відкладає токсичні яйця (також випадкової ваги), які вимагають витратного знешкодження. «Винагороди» це послідовні (випадкові) фінансові втрати/прибуток від послідовних яєць (і = 1,2,3, …), а визначає загальну фінансову «винагороду» в момент часу t.

Властивості процесів відновлення та процесів відновлення-винагороди[ред.ред. код]

Визначимо функцію відновлення:

Елементарна теорема відновлення[ред.ред. код]

Функція відновлення задовольняє

Доведення[ред.ред. код]

Як вказано нижче згідно сильного закону великих чисел для процесів відновлення . Щоб довести елементарну теорему відновлення, досить показати, що може бути рівномірно проінтегрована. Для цього, розглянемо деякі усічені процеси відновлення, де проміжки часу визначаються , де a точка така, що , яка існує для всіх недетерміністичних процесів відновлення. Цей новий процес відновлення є верхньою межею і його відновлення може виникнути тільки на проміжку . Більш того, кількість відновлень в кожен момент часу має геометричний розподіл з параметром P.

Тому маємо .

Елементарні теореми відновлення для процесів відновлення-винагороди[ред.ред. код]

Визначимо функцію винагороди: . Функція винагороди задовольняє .

Рівняння відновлення[ред.ред. код]

Функція відновлення задовольняє , де — функція розподілу від , а це ймовірнісна функція щільності.

Доведення рівняння відновлення[ред.ред. код]

Ми можемо записати: . Але за властивістю Маркова . Отже, .

Асимптотичні властивості[ред.ред. код]

і задовольняють (Посилений закон великих чисел для процесів відновлення) (Сильний закон великих чисел для процесів відновлення-винагороди) майже напевно.

Доведення[ред.ред. код]

Спочатку розглянемо . За визначенням маємо: для всіх і тому для всіх t ≥ 0. Тепер, з того що ми маємо:, при майже вірогідно (з ймовірністю 1). Отже, майже напевно(з використанням сильного закону великих чисел), аналогічно: майже напевно. Таким чином (оскільки знаходиться між цими двома виразами) майже напевно. Далі розглянемо . Маємо майже напевно ( використовуючи попередній результат і закон великих чисел на ).

Парадокс перевірки[ред.ред. код]

Цікавою особливістю процесів відновлення є те, що якщо ми почекаємо деякий заданий час t, а потім подивимося на скільки великим є інтервал відновлення, який містить t, ми очікуємо, що він, зазвичай, буде більшим за середній по величині інтервал відновлення. Математично парадокс перевірки говорить: для будь-якого інтервал відновлення, що містить t є стохастично більшим, ніж перший інтервал відновлення. Тобто, для всіх х > 0 і для всіх t > 0: , де це функція розподілу незалежних однаково розподілених відрізків часу .

Доведення парадоксу перевірки[ред.ред. код]

Позначимо час останнього стрибка перед t як , тоді інтервал відновлення, що містить t це . Тоді , що і треба було довести.

Суперпозиція[ред.ред. код]

Суперпозиція незалежних процесів відновлення в цілому не є процесом відновлення, але вона може бути описана в ширшому класі процесів,що має назву процесів відновлення Маркова. Проте, функція розподілу першого міжподієвого часу між подіями у процесі суперпозиції задається , де та αk > 0 функція розподілу між моментами часу і частота настання процесу k.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Smith, Walter L. (1958). Renewal Theory and Its Ramifications. Journal of the Royal Statistical Society, Series B 20 (2). с. 243–302. JSTOR 2983891.