Топологія альтернативи

Топологія альтернативи визначається на відрізку Х=[-1,1]. В цій топології відкритими є ті й лише ті множини, які не містять 0 або містять інтервал (-1,1). Множини {1}, {-1}, {-1,1} і будь-яка множина, яка містить 0, є замкненими множинами.

Властивості

• $X$ задовольняє нульову, четверту і п'яту аксіоми відокремлюваності, але не задовольняє першу і третю аксіоми відокремлюваності.
• Довільне відкрите покриття $X$ має включати відкриту множину, яка містить 0. Тому $X$ компактний і ліндельофів.
• $X$ не є сепарабельним, бо містить безліч відкритих точок. З цієї ж причини $X$ не задовольняє другу аксіому зліченності, але задовольняє першу.
• $X$ є локально лінійно зв'язним простором, локально зв'язним, але не локально дугово зв'язним.
• $X$ є розсіяним простором.
• $X$ є простором другої категорії.

Література

1.Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446