Точковилучена топологія

Нехай X — непорожня множина і p $\in$ X. Точковилученою топологією на X називається топологія $\tau =\{X,A\subset X\mid p\notin A\}$.

Властивості

• Якщо |X|=2, то точковилучена топологія є топологією Серпінського.
• Х є $T_{0}$, $T_{4}$, $T_{5}$, але не $T_{1}$, $T_{2}$, $T_{3}$-простором.
• Оскільки Х є єдиною відкритою множиною, яка містить точку р, (Х,τ) є компактним і зв'язним. Х є ультразв'язним, але не гіперзв'язним простором. Тому Х лінійно зв'язний.
• (X,τ) задовольняє першу аксіому зліченності. (Х,τ) задовольняє другу аксіому зліченності і є сепарабельним тоді й лише тоді, коли Х не більш ніж зліченний.
• Х є локально лінійно зв'язним, але не локально дугово зв'язним.
• Х не є досконалим $T_{4}$-простором.
• Х розсіяний.
• Х секвенціально компактний.

Література

1.Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446