Форма Кіллінга

Форма Кіллінга — симетрична білінійна форма на алгебрі Лі певного типу.

Визначення

Нехай ${\mathfrak {g}}$ — скінченновимірна алгебра Лі над полем $K$. Кожен елемент $x$ з ${\mathfrak {g}}$ визначає ендоморфізм $\mathrm {ad} _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$

$\mathrm {ad} _{x}\colon z\mapsto [x,z],$

де $[{*},{*}]$ — дужка Лі. Тоді слід композиції таких ендоморфізмів визначає симетричну білінійну форму

$B(x,y)=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{y})$

зі значеннями в полі $K$. Ця форма $B$ називається формою Кіллінга на ${\mathfrak {g}}$.

Властивості

• Форма Кіллінга є білінійною і симетричною.

Білінійність випливає з того, що $[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$ і, відповідно $\mathrm {ad} _{x+y}=\mathrm {ad} _{x}+\mathrm {ad} _{y}$, а також з того що $\mathrm {trace} ((A+B)\circ C)=\mathrm {trace} (A\circ C)+\mathrm {trace} (B\circ C)$ і $\mathrm {trace} (A\circ (B+C))=\mathrm {trace} (A\circ B)+\mathrm {trace} (A\circ C),$ для довільних ендоморфізмів A, B, C.

Симетричність випливає з того, що $\mathrm {trace} (A\circ B)=\mathrm {trace} (B\circ A)$ для довільних ендоморфізмів A, B.

• Форма Кіллінга є інваріантною формою, тобто

  $B([x,y],z)=B(x,[y,z]),$

Де $[{*},{*}]$ — дужка Лі.

З визначень і рівності Якобі одержується рівність $\mathrm {ad} _{[x,y]}(z)=[[x,y],z]=[x,[y,z]]-[y,[x,z]]=\mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{y}(z)-\mathrm {ad} _{y}\circ \mathrm {ad} _{x}(z)$

Звідси $B([x,y],z)=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{y}\circ \mathrm {ad} _{z})-\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{y}\circ \mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{z})=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{y}\circ \mathrm {ad} _{z})-\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{z}\circ \mathrm {ad} _{y})=B(x,[y,z]).$

• Якщо ${\mathfrak {g}}$ є простою алгеброю Лі, то будь-яка інваріантна симетрична білінійна форма на ${\mathfrak {g}}$ пропорційна формі Кіллінга.
• Форма Кіллінга також є інваріантною щодо автоморфізмів алгебри Лі, тобто

  $B(\phi (x),\phi (y))=B(x,y)$

Де $\phi \in Aut({\mathfrak {g}})$.

* Зокрема, лівоінваріантне поле форм на відповідній групі Лі, що збігається з $B$ в одиниці, є також правоінваріантним, і відповідно біінваріантним.

З визначення автоморфізмів алгебр Лі $\phi \circ \mathrm {ad} _{x}=\mathrm {ad} _{\phi (x)}\circ \phi$ і відповідно $\mathrm {ad} _{\phi (x)}=\phi \circ \mathrm {ad} _{x}\circ \phi ^{-1}.$ З інваріантності сліду для подібних ендоморфізмів одержується інваріантність форми Кіллінга.

• Згідно критерію Картана, алгебра Лі є напівпростою тоді і тільки тоді, коли її форма Кіллінга є невиродженою.
• Форма Кіллінга нільпотентної алгебри є тотожним нулем. Більш загально через форму Кілліна також можна дати означення розв'язної алгебри Лі.
• Якщо $I$ і $J$ — два ідеали в алгебрі Лі ${\mathfrak {g}}$ з нульовим перетином, тоді $I$ і $J$ утворюють ортогональні підпростори по відношенню до форми Кіллінга.
• Ортогональне доповнення щодо ідеалу по відношенню до форми Кіллінга також є ідеалом.
• Якщо алгебра Лі є прямою сумою своїх ідеалів, то її форма Кіллінга є прямою сумою форм Кіллінга на окремих доданків.

Див. також

• Оператор Казиміра