Оператор Казиміра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці Інваріант Казиміра або Оператор Казиміра - це значний елемент центру алгебри Лі. Прикладом є квадрат оператора кутового моменту, що є інваріантом Казиміра 3-вимірної групи обертаньSO(3).

Визначення[ред.ред. код]

Нехай -вимірна напівпроста алгебра Лі. Нехай — будь-який базис , а — дуальний базис, по відношенню до фіксованої інваріантної білінійної форми (наприклад, формі Кіллінга) на . Елемент Казиміра — це елемент універсальної згортаючої алгебри, що визначається формулою

Попри те, що визначення елементу Казиміра відноситься до конкретного вибору базису в алгебрі Лі, легко показати, що отриманий елемент не залежить від цього вибору. Більше того, інваріантність білінійної форми, що була використана у визначенні, має на увазі, що елемент Казиміра комутує з усіма елементами алгебри , і, відповідно, лежить в центрі універсальної згортаючої алгебри

Будь-якому представленню алгебри у векторному просторі V, можливо нескінченновимірному, відповідає інваріант Казиміра , лінійний оператор у V, що задається формулою

Частинний випадок даної конструкції грає важливу роль в диференціальній геометрії і загальному аналізі. Якщо зв'язана група Лі G з алгеброю Лі діють на диференційовному многовиді M, то елементи представляються диференціальними операторами першого порядку на M. Представлення діє у просторі гладких функцій на M. В такій ситуації інваріант Казиміра — це G-інваріантний диференціальний оператор другого порядку на M, що визначається з вищеприведеної формули.

Можуть бути визначені також загальніші інваріанти Казиміра. Зазвичай вони зустрічатьються при вивченні псевдо-диференціальних операторів і теорії Фредгольма.

Властивості[ред.ред. код]

Оператор Казиміра — це член алгебри всіх диференціальних операторів, що комутують з усіма генераторами в алгебрі Лі.

Число незалежних елементів центру універсальної згортаючої алгебри також є рангом у випадку напівпростої алгебри Лі. Оператор Казиміра дає поняття Лапласіана на загальних напівпростих групах Лі; але такий шлях показує, що може існувати не єдиний аналог Лапласіана, для рангу >1.

За визначенням, будь-який член центру універсальної згортаючої алгебри комутує з усіма іншими елементами в алгебрі. Відповідно до леми Шура в довільному незвідному представленні алгебри Лі оператор Казимира є пропорційним до тотожності. Цей коефіцієнт пропорційності може бути використаний для класифікації представлень алгебри Лі (а, відповідно, також її групи Лі). Фізична маса і спін — приклади таких коефіцієнтів, як і багато інших квантових чисел, що використовуються в квантовій механіці. Зовнішньо, топологічні квантові числа являють собою винятки з цієї моделі, хоча більш глибокі теорії наводять на думку, що це дві грані одного явища.

Приклад: so(3)[ред.ред. код]

Алгебра Лі відповідає SO(3), групі обертів 3-вимірного евклідового простору. Вона є напівпростою рангу 1 і тому має єдиний незалежний інваріант Казиміра. Форма Кіллінга для групи обертів — це лише символ Кронекера, а інваріант Казиміра — просто сума квадратів генераторів даної алгебри. Тобто, інваріант Казиміра задається формулою

В незвідному представленні, інваріантність оператора Казиміра припускає його кратність одиничному елементу e алгебри, так що

У квантовій механіці, скалярне значення відноситься до повного момента кількості руху. Для скінченновимірних матричнозначних представлень групи обертань, завжди ціле (для бозонних представлень) або напівцілим (для ферміонних представлень).

Для даного числа , матричне представлення -вимірне. Так, наприклад, 3-вимірне представлення so(3) відповідає , і задається генераторами

Тоді інваріант Казиміра:

оскільки при . Таким самим чином 2-вимірне представлення має базис, що задається матрицями Паулі, які відповідають спіну 1/2.

Власні значення[ред.ред. код]

Враховуючи, що займає центральне місце в згортаючій алгебрі, вона діє скаляром на прості модулі. Нехай буде нашою білінійною симетричною невиродженою формою, за допомогою якої ми визначаємо . Нехай буде скінченновимірним модулем найбільшого значення, вагою . Тоді елемент Казиміра діє на на відміну від де визначається як півсума додатніх коренів.

Джерела[ред.ред. код]

  • Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. — Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. — New York : Springer-Verlag, 1978. — ISBN 5-9221-0055-6.