Розв'язна алгебра Лі

В математиці, алгебра Лі ${\mathfrak {g}}$ називається розв'язною похідний ряд стає нульовим починаючи з деякого члена. Похідною алгеброю Лі називається підалгебра в ${\mathfrak {g}}$, що позначається як

$[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$

і елементами якої за означенням є дужки Лі всеможливих пар елементів з ${\mathfrak {g}}$. Похідним рядом називається послідовність підалгебр

${\mathfrak {g}}\geqslant [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geqslant [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geqslant [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...$

Елементи цього ряду також позначаються $D^{k}{\mathfrak {g}}$ де $D^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}$ і $D^{k+1}{\mathfrak {g}}=[D^{k}{\mathfrak {g}},D^{k}{\mathfrak {g}}].$

Якщо для деякого k виконується $D^{k}{\mathfrak {g}}=\{0\}$, то алгебра Лі називається розв'язною.

Максимальна розв'язна підалгебра називається підалгеброю Бореля. Найбільший розв'язний ідеал алгебри Лі називається радикалом.

Означення

Нехай ${\mathfrak {g}}$ — скінченновимірна алгебра Лі над полем характеристики 0. Тоді твердження нижче є еквівалентними і можуть бути використані як означення:

• (i) ${\mathfrak {g}}$ є розв'язною за означенням вище.
• (ii) ${\rm {ad}}({\mathfrak {g}})$, приєднане представлення алгебри ${\mathfrak {g}}$, є розв'язним.
• (iii) Існує скінченна послідовність ідеалів ${\mathfrak {a}}_{i}$ алгебри ${\mathfrak {g}}$} для яких:

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{r}=0,\quad \forall i[{\mathfrak {a}}_{i},{\mathfrak {a}}_{i}]\subset {\mathfrak {a}}_{i+1}.$

• (iv) $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ є нільпотентною алгеброю Лі.
• (v) Для $n$-вимірної алгебри ${\mathfrak {g}}$ , існує послідовність підалгебр ${\mathfrak {a}}_{i}$ алгебри ${\mathfrak {g}}$ для яких:

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{n}=0,\quad \forall i\operatorname {dim} {\mathfrak {a}}_{i}/{\mathfrak {a}}_{i+1}=1,$

і ${\mathfrak {a}}_{i+1}$ є ідеалом в ${\mathfrak {a}}_{i}$. Ця послідовність називається елементарною послідовністю.

• (vi) Існує скінченна послідовність підалгебр ${\mathfrak {g}}_{i}$ алгебри ${\mathfrak {g}}$ для яких,

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset ...{\mathfrak {g}}_{r}=0,$ і ${\mathfrak {g}}_{i+1}$ є ідеалом ${\mathfrak {g}}_{i}$ і до того ж ${\mathfrak {g}}_{i}/{\mathfrak {g}}_{i+1}$ є комутативною алгеброю Лі.

• (vii) ${\mathfrak {g}}$ є розв'язною тоді і тільки тоді коли її форма Кіллінга $B$ задовольняє умову $B(X,Y)=0$ для всіх X в ${\mathfrak {g}}$ і Y в $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$.

Приклади

• Напівпроста алгебра Лі ніколи не є розв'язною.
• Будь-яка абелева алгебра Лі є розв'язною.
• Будь-яка нільпотентна алгебра Лі є розв'язною.
• Якщо $V$ є скінченновимірним векторним простором над полем $K$ і $F=\{V_{i}\}$ — повний прапор векторних підпросторів. Підалгебра ${\mathfrak {b}}(F)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(V)|xV_{i}\subset V_{i},\;\;\forall V_{i}\}$ алгебри ${\rm {gl}}_{k}$ є розв'язною алгеброю Лі. Якщо на просторі $V$ ввести базис, що узгоджується з $F$ то елементи алгебри ${\mathfrak {b}}(F)$ визначаються верхніми трикутними матрицями. Алгебра верхніх трикутних матриць над полем $K$ розмірності n позначається ${\mathfrak {t}}(n,K).$ Якщо $K$ — алгебраїчно замкнуте поле характеристики 0 то довільна розв'язна скінченновимірна алгебра Лі над полем $K$ ізоморфна підалгебрі алгебри ${\mathfrak {t}}(n,K).$

Властивості

• Згідно з теоремою Лі, якщо $V$ є скінченновимірним векторним простором над алгебраїчно замкнутим полем $K$ характеристики 0 і ${\mathfrak {g}}$ є розв'язною алгеброю Лі над підполем $k$ поля $K$, і $\pi$ є представленням алгебри ${\mathfrak {g}}$ над простором $V$,тоді існує повний прапор векторних підпросторів $F$ для якого $\pi ({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {b}}(F).$ Зокрема існує вектор $v\in V$ що є одночасно власним вектором матриць $\pi (X)$ для всіх елементів $X\in {\mathfrak {g}}$. Більш загально теорема Лі є справедливою якщо поле $K$ є досконалим і містить всі власні значення усіх матриць $\pi (X).$

• Підалгебра Лі, факторалгебра і розширення розв'язної алгебри Лі є розв'язними алгебрами Лі.
• Розв'язна ненульова алгебра Лі має ненульовий абелевий ідеал, останній ненульовий член в похідному ряді.
• Образ розв'язної алгебри Лі при гомоморфізмі є розв'язною алгеброю Лі.
• Якщо ${\mathfrak {a}}$ є розв'язним ідеалом в ${\mathfrak {g}}$ і алгебра ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}$ є розв'язною, то і алгебра ${\mathfrak {g}}$ є розв'язною.
• Якщо ${\mathfrak {g}}$ є скінченновимірною, тоді існує єдиний розв'язний ідеал ${\mathfrak {r}}\subset {\mathfrak {g}}$, що містить всі розв'язні ідеали алгебри ${\mathfrak {g}}$. Цей ідеал називається радикалом алгебри ${\mathfrak {g}}$ і позначається ${\rm {rad}}{\mathfrak {g}}$. Радикали мають важливе значення в теорії скінченновимірних алгебр Лінад полями характеристики 0 оскільки в цьому випадку довільна алгебра Лі є напівпрямою сумою свого радикала, що є розв'язною алгеброю Лі і деякої напівпростої алгебри Лі. Тому класифікація алгебр Лі зводиться до класифікації напівпростих алгебр Лі і розв'язних алгебр Лі. Проте завдання класифікації скінченновимірних розв'язних алгебр Лі є набагато складнішим, ніж класифікація напівпростих алгебр.
• Якщо ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}$ є розв'язними ідеалами, то таким є і ідеал ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}$.
• Розв'язна алгебра Лі ${\mathfrak {g}}$ має єдиний найбільший нільпотентний ідеал ${\mathfrak {n}}$, що є множиною елементів $X\in {\mathfrak {g}}$ для яких ${\rm {ad}}_{X}$ є нільпотентним відображенням. Розв'язна алгебра Лі розкладається на напівпряму суму цього ідеалу і деякої абелевої підалгебри. Якщо D є диференціюванням на ${\mathfrak {g}}$, то $D({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {n}}$.

Цілком розв'язні алгебри Лі

Алгебра Лі ${\mathfrak {g}}$ називається цілком розв'язною якщо для неї існує елементарна послідовність ідеалів у ${\mathfrak {g}}$ від $0$ до ${\mathfrak {g}}$. Скінченновимірна нільпотентна алгебра Лі є цілком розв'язною і цілком розв'язна алгебра Лі є розв'язною. Над алгебраїчно замкнутим полем розв'язна алгебра Лі є цілком розв'язною, натомість, наприклад $3$-вимірна дійсна алгебра Лі групи евклідових ізометрій площини є розв'язною але не цілком розв'язною. Ця алгебра є ізоморфною матричній алгебрі

$X=\left({\begin{matrix}0&\theta &x\\-\theta &0&y\\0&0&0\end{matrix}}\right),\quad \theta ,x,y\in \mathbb {R} .$

Розв'язна алгебра Лі ${\mathfrak {g}}$ над полем є цілком розв'язною тоді і тільки тоді коли всі власні значення ${\rm {ad}}_{X}$ належать $k$ для всіх $X$ в ${\mathfrak {g}}$.

Див. також

• Алгебра Лі
• Форма Кіллінга

Посилання

• EoM article Lie algebra, solvable [Архівовано 28 жовтня 2011 у Wayback Machine.]
• EoM article Lie group, solvable [Архівовано 28 жовтня 2011 у Wayback Machine.]

Література

• Fulton, W.; Harris, J. (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics. Т. 129. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6. MR 1153249.
• Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics. Т. 9. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
• Knapp, A. W. (2002). Lie groups beyond an introduction. Progress in Mathematics. Т. 120 (вид. 2nd). Boston·Basel·Berlin: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5..