Розв'язна алгебра Лі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В математиці, алгебра Лі називається розв'язною похідний ряд стає нульовим починаючи з деякого члена. Похідною алгеброю Лі називається підалгебра в , що позначається як

і елементами якої за означенням є дужки Лі всеможливих пар елементів з . Похідним рядом називається послідовність підалгебр

Елементи цього ряду також позначаються де і

Якщо для деякого k виконується , то алгебра Лі називається розв'язною.[1]

Максимальна розв'язна підалгебра називається підалгеброю Бореля. Найбільший розв'язний ідеал алгебри Лі називається радикалом.

Означення[ред. | ред. код]

Нехай — скінченновимірна алгебра Лі над полем характеристики 0. Тоді твердження нижче є еквівалентними і можуть бути використані як означення:

  • (i) є розв'язною за означенням вище.
  • (ii) , приєднане представлення алгебри , є розв'язним.
  • (iii) Існує скінченна послідовність ідеалів алгебри } для яких:
  • (iv) є нільпотентною алгеброю Лі.[2]
  • (v) Для -вимірної алгебри , існує послідовність підалгебр алгебри для яких:
і є ідеалом в .[3] Ця послідовність називається елементарною послідовністю.
  • (vi) Існує скінченна послідовність підалгебр алгебри для яких,
і є ідеалом і до того ж є комутативною алгеброю Лі.[4]
  • (vii) є розв'язною тоді і тільки тоді коли її форма Кіллінга задовольняє умову для всіх X в і Y в .[5]

Приклади[ред. | ред. код]

  • Напівпроста алгебра Лі ніколи не є розв'язною.[6]
  • Будь-яка абелева алгебра Лі є розв'язною.
  • Будь-яка нільпотентна алгебра Лі є розв'язною.
  • Якщо є скінченновимірним векторним простором над полем і повний прапор векторних підпросторів. Підалгебра алгебри є розв'язною алгеброю Лі. Якщо на просторі ввести базис, що узгоджується з то елементи алгебри визначаються верхніми трикутними матрицями. Алгебра верхніх трикутних матриць над полем розмірності n позначається Якщо — алгебраїчно замкнуте поле характеристики 0 то довільна розв'язна скінченновимірна алгебра Лі над полем ізоморфна підалгебрі алгебри

Властивості[ред. | ред. код]

  • Згідно з теоремою Лі, якщо є скінченновимірним векторним простором над алгебраїчно замкнутим полем характеристики 0 і є розв'язною алгеброю Лі над підполем поля , і є представленням алгебри над простором ,тоді існує повний прапор векторних підпросторів для якого Зокрема існує вектор що є одночасно власним вектором матриць для всіх елементів .[7] Більш загально теорема Лі є справедливою якщо поле є досконалим і містить всі власні значення усіх матриць
  • Підалгебра Лі, факторалгебра і розширення розв'язної алгебри Лі є розв'язними алгебрами Лі.
  • Розв'язна ненульова алгебра Лі має ненульовий абелевий ідеал, останній ненульовий член в похідному ряді.[8]
  • Образ розв'язної алгебри Лі при гомоморфізмі є розв'язною алгеброю Лі.[8]
  • Якщо є розв'язним ідеалом в і алгебра є розв'язною, то і алгебра є розв'язною.[8]
  • Якщо є скінченновимірною, тоді існує єдиний розв'язний ідеал , що містить всі розв'язні ідеали алгебри . Цей ідеал називається радикалом алгебри і позначається .[8] Радикали мають важливе значення в теорії скінченновимірних алгебр Лінад полями характеристики 0 оскільки в цьому випадку довільна алгебра Лі є напівпрямою сумою свого радикала, що є розв'язною алгеброю Лі і деякої напівпростої алгебри Лі. Тому класифікація алгебр Лі зводиться до класифікації напівпростих алгебр Лі і розв'язних алгебр Лі. Проте завдання класифікації скінченновимірних розв'язних алгебр Лі є набагато складнішим, ніж класифікація напівпростих алгебр.
  • Якщо є розв'язними ідеалами, то таким є і ідеал .[6]
  • Розв'язна алгебра Лі має єдиний найбільший нільпотентний ідеал , що є множиною елементів для яких є нільпотентним відображенням. Розв'язна алгебра Лі розкладається на напівпряму суму цього ідеалу і деякої абелевої підалгебри. Якщо D є диференціюванням на , то .[9]

Цілком розв'язні алгебри Лі[ред. | ред. код]

Алгебра Лі називається цілком розв'язною якщо для неї існує елементарна послідовність ідеалів у від до . Скінченновимірна нільпотентна алгебра Лі є цілком розв'язною і цілком розв'язна алгебра Лі є розв'язною. Над алгебраїчно замкнутим полем розв'язна алгебра Лі є цілком розв'язною, натомість, наприклад -вимірна дійсна алгебра Лі групи евклідових ізометрій площини є розв'язною але не цілком розв'язною. Ця алгебра є ізоморфною матричній алгебрі

Розв'язна алгебра Лі над полем є цілком розв'язною тоді і тільки тоді коли всі власні значення належать для всіх в .[8]

Див. також[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Humphreys, 1972
  2. Knapp, 2002 Proposition 1.39.
  3. Knapp, 2002 Proposition 1.23.
  4. Fulton та Harris, 1991
  5. Knapp, 2002 Proposition 1.46.
  6. а б Humphreys, 1972
  7. Knapp, 2002 Theorem 1.25.
  8. а б в г д Knapp, 2002
  9. Knapp, 2002 Proposition 1.40.

Література[ред. | ред. код]

  • Fulton, W.; Harris, J. (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics 129. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6. MR 1153249. 
  • Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics 9. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5. 
  • Knapp, A. W. (2002). Lie groups beyond an introduction. Progress in Mathematics 120 (вид. 2nd). Boston·Basel·Berlin: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. .