Кватерніони

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Кватерніо́н  — гіперкомплексне число, яке реалізується в 4-вимірному просторі. Вперше описане В. Р. Гамільтоном у 1843 році.

Кватерніони використовуються як у теоретичній, так і у прикладній математиці, зокрема для розрахунку поворотів у просторі у тривимірній графіці та машинному зорі.

Кватерніон має вигляд де

 — дійсні числа;

 — уявні одиниці, що задовольняють співвідношенням

з яких випливають ще й такі співвідношення:

Часто замість використовують позначення для уявних одиниць відповідно а також покладають

Ще один, зрідка вживаний, варіант позначень:

Кватерніони також можна визначити через комплексні числа, використовуючи процедуру подвоєння Келі-Діксона.

Пов'язані означення[ред.ред. код]

  • Для кватерніона ,
дійсне число називається скалярною частиною кватерніона,  — його векторною частиною.
Якщо , то кватерніон називаєтся чисто скалярним, при чисто векторним.
  • Кватерніон називається спряженим до .
  • Як і для комплексних чисел, норма кватерніона визначається як

Якщо то називається одиничним кватерніоном. Легко перевірити, що , тобто кватерніони мають мультиплікативну норму; з цього співвідношення випливає так звана тотожність чотирьох квадратів.

Алгебраїчні властивості[ред.ред. код]

Виходячи з вищенаведених властивостей уявних одиниць, неважко отримати такі властивості:

З некомутативності множення випливає, що система кватерніонів не є полем. Проте вона є тілом і, таким чином, не містить дільників нуля. Тіло кватерніонів зазвичай позначається . Сказане вище свідчить про здійсненність ділення в системі кватерніонів, але слід розрізняти ліве та праве ділення.

Векторне представлення[ред.ред. код]

Кватерніон можна представити у вигляді пари скаляра та 3-вимірного вектора:

.

Виявляється, що множення кватерніонів можна записати через скалярний та векторний добутки відповідних 3-вимірних векторів:

При такому підході чисто векторні кватерніони можна ототожнити з 3-вимірними векторами. Тоді добуток двох таких кватерніонів можна отримати, віднявши від їх векторного добутку їх скалярний добуток:

Матричне представлення[ред.ред. код]

Кватерніон може бути представлений у вигляді матриці 2×2 із комплексних чисел:

Піднесення до степеня[ред.ред. код]

Рівність

доводиться подібно до формули Ейлера зіставленням рядів Тейлора з обох боків.

Запишемо кватерніон в векторній (тригонометричній) формі

  • Натуральний степінь:

Використавши математичну індукцію отримаємо:

  • Дійсний степінь:

Піднесення кватерніона до дійсного степеня використовується для інтерполяції поворотів з постійною кутовою швидкістю.

Кватерніони і повороти простору[ред.ред. код]

Докладніше у статті Кватерніони і повороти простору

Комплексні кватерніони[ред.ред. код]

Іноді означені в цій статті кватерніони називають дійсними кватерніонами, розглядаючи також комплексні кватерніони, означення яких відрізняється від наведеного лише тим, що  — комплексні числа. При цьому комплексна одиниця не ототожнюється з кватерніонною одиницею так що їх доводиться позначати по-різному (наприклад, з використанням наведених вище альтернативних позначень або виділяючи кватерніонні одиниці жирним шрифтом).

Джерела[ред.ред. код]

  • Математический энциклопедический словарь. Москва, 1988.

Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Конструктивні числа[en] | Алгебраїчні числа | Трансцендентні числа | Рекурсивні числа[en] | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Дуальні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Супердійсні числа[en] | Гіпердійсні числа[en] | Сюрреальні числа[en] | Номінальні числа | Ординальні числа | Кардинальні числа | P-адичні числа | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність