Кватерніони

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Кватерніо́н  — гіперкомплексне число, яке реалізується в 4-вимірному просторі. Уперше описане В. Р. Гамільтоном у 1843 році.

Кватерніони використовуються як у теоретичній, так і у прикладній математиці, зокрема для розрахунку поворотів у просторі у тривимірній графіці та машинному зорі.

Означення[ред. | ред. код]

Загальне означення[ред. | ред. код]

Кватерніони можна означити як суму

де  — дійсні числа;  — уявні одиниці, які справджують співвідношення:

з яких випливають ще й такі співвідношення:

Часто замість використовують позначення для уявних одиниць відповідно а також покладають

Ще один, зрідка вживаний, варіант позначень:

Означення через вектор і скаляр[ред. | ред. код]

Кватерніон представляє собою пару , де — вектор тривимірного простору , а — скаляр, тобто дійсне число.

Через комплексні числа[ред. | ред. код]

Довільний кватерніон можна представити як пару комплексних чисел у вигляді .

Це еквівалентно , де , ( тобто — комплексні числа , оскільки )

Через дійсні матриці[ред. | ред. код]

Кватерніони також можна визначити як матрицю такого вигляду:

Через комплексні матриці[ред. | ред. код]

Альтернативно, кватерніони можна визначити як комплексні матриці такого вигляду

,

де є комплексно-спряженими числами до .

Пов'язані означення[ред. | ред. код]

  • Для кватерніона ,
дійсне число називають скалярною частиною кватерніона,  — його векторною частиною.
Якщо , то кватерніон називається чисто скалярним, при  — чисто векторним.
  • Кватерніон називають спряженим до .
  • Як і для комплексних чисел, норма кватерніона визначають як

Якщо то називають одиничним кватерніоном. Легко перевірити, що , тобто кватерніони мають мультиплікативну норму; з цього співвідношення випливає так звана тотожність чотирьох квадратів.

Алгебраїчні властивості[ред. | ред. код]

Виходячи з вищенаведених властивостей уявних одиниць, можна отримати такі властивості:

З некомутативності множення випливає, що система кватерніонів не є полем. Проте вона є тілом і, таким чином, не містить дільників нуля. Тіло кватерніонів зазвичай позначається . Сказане вище свідчить про здійсненність ділення в системі кватерніонів, але слід розрізняти ліве та праве ділення.

Чотири базисних кватерніони і чотири протилежних їм за знаком кватерніони утворюють групу кватерніонів по множенню (з порядком 8) . Тобто

Детальніше про векторне представлення[ред. | ред. код]

Оскільки кватерніон можна представити у вигляді пари скаляра та 3-вимірного вектора:

.

Виявляється, що множення кватерніонів можна записати через скалярний та векторний добутки відповідних 3-вимірних векторів:

При такому підході чисто векторні кватерніони можна ототожнити з 3-вимірними векторами. Тоді добуток двох таких кватерніонів можна отримати, віднявши від їх векторного добутку їх скалярний добуток:

Піднесення до степеня[ред. | ред. код]

Рівність

доводиться подібно до формули Ейлера зіставленням рядів Тейлора з обох боків.

Запишемо кватерніон у векторній (тригонометричній) формі

  • Натуральний степінь:

Використавши математичну індукцію отримаємо:

  • Дійсний степінь:

Піднесення кватерніона до дійсного степеня використовується для інтерполяції поворотів з постійною кутовою швидкістю.

Кватерніони і повороти простору[ред. | ред. код]

Комплексні кватерніони[ред. | ред. код]

Іноді означені в цій статті кватерніони називають дійсними кватерніонами, розглядаючи також комплексні кватерніони, означення яких відрізняється від наведеного лише тим, що  — комплексні числа. При цьому комплексна одиниця не ототожнюється з кватерніонною одиницею так що їх доводиться позначати по-різному (наприклад, з використанням наведених вище альтернативних позначень або виділяючи кватерніонні одиниці жирним шрифтом).

Історія[ред. | ред. код]

Пам'ятна табличка на мосту Брум Бридж в Дубліні: «Тут на прогулянці, 16 жовтня 1843 року, осяяний генієм, сер Вільям Ровен Гамільтон відкрив формулу множення кватерніонів» i2 = j2 = k2 = ijk = −1

Бурхливий і надзвичайно плідний розвиток комплексного аналізу в XIX столітті стимулював у математиків інтерес до наступної задачі: знайти новий вид чисел, аналогічний за властивостями комплексним, що містить не одну, а дві уявні одиниці. Передбачалося, що така модель буде корисна для розв'язання просторових задач математичної фізики. Проте зусилля в цьому напрямку виявилася безуспішними.

1843 року новий тип чисел виявив ірландський математик Вільям Ровен Гамільтон. Ці числа містили не дві уявні одиниці, як очікувалося, а три. Гамільтон назвав ці числа кватерніонами. Історики науки також виявили начерки по цій темі в неопублікованих рукописах Ґаусса 1819—1820 років.
Модель досить швидко принесла практичну користь. Пізніше на основі алгебри кватерніонів Ґіббс та Гевісайд створили тривимірний векторний аналіз.

Сучасне використання[ред. | ред. код]

У XX столітті намагалися використовувати кватерніонні моделі у квантовій механіці й теорії відносності. Реальне застосування кватерніони знайшли в комп'ютерній графіці і програмуванні ігор, а також в обчислювальній механіці, в інерціальній навігації й теорії управління. У багатьох галузях було знайдено більш загальні й практичні засоби, ніж кватерніони. Наприклад, для дослідження рухів у просторі найчастіше застосовують матричне числення. Однак там, де важливо описувати тривимірний поворот за допомогою мінімальної кількості скалярних параметрів, застосування параметрів Родріго — Гамільтона (тобто, чотирьох компонент кватерніона повороту) часто виявляється кращим: такий опис ніколи не вироджується, тоді як опис поворотів трьома параметрами (наприклад, кутами Ейлера) завжди має критичні значення цих параметрів.

Джерела[ред. | ред. код]

  • Математический энциклопедический словарь. Москва, 1988.