Мішаний добуток

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Мішаний добуток векторів  — скалярний добуток вектора на векторний добуток векторів і :

.

Інколи його називають потрійним скалярним добутком векторів, вочевидь через те, що результатом є скаляр (точніше — псевдоскаляр).


Властивості[ред.ред. код]

  • Змішаний добуток кососиметричний по відношенню до всіх своїх аргументів:
т. тобто перестановка будь-яких двох співмножників міняє знак добутку. Звідси випливає, що
  • Змішаний добуток в правій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів та :
  • Змішаний добуток в лівій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів та , взятому зі знаком «мінус»:
зокрема,
  • Якщо якісь два вектори колінеарні, то з будь-яким третім вектором вони утворюють мішаний добуток, що дорівнює нулю.
  • Якщо три вектори лінійно залежні (т. тобто компланарні, лежать в одній площині), то їх мішаний добуток дорівнює нулю.
  • Геометричний сенс — мішаний добуток за абсолютним значенням дорівнює об'єму паралелепіпеда (див. малюнок), утвореного векторами та ; знак залежить від того, чи є ця трійка векторів права або ліва.
  • Квадрат змішаного добутку векторів дорівнює визначнику Грама, що визначається ними[1]:215.
Три вектора, що визначають паралелепіпед.

(в останній формулі в ортонормированном базисі всі індекси можна писати нижніми; в цьому випадку ця формула абсолютно прямо повторює формулу з визначником, правда, при цьому автоматично виходить множник (-1) для лівих базисів).

Тлумачення[ред.ред. код]

Мішаний добуток не є принципово новим математичним поняттям, оскільки процедура його обчислення зводиться до послідовного знаходження скалярного та векторного добутків. Попри це, вивчення мішаного добутку як окремого математичного об'єкта є дуже доцільним, оскільки він часто зустрічається при розгляді різноманітних задач і має низку властивостей, що спрощують їх розв'язання.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Гусятник П.Б., Резніченко С.В. Векторна алгебра в прикладах та завданнях. — М : Вища школа, 1985. — 232 с.